Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Марадудин А. -> "Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении" -> 39

Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.

Марадудин А., Монтролл Э., Вейсс Дж. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении — М.: Мир, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskayateoriyakrisreshetki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 114 >> Следующая

ни интерполяционного метода. Гистограммой представлен спектр, полученный
Уокером (115] по 2791 точкам в '/". части брнллюэновской зоны.
эффективным для получения хорошего приближения и требует знания
небольшого числа моментов.
Простой вариант модифицированного метода моментов был недавно применен
Филлипсом [85] для вычисления функции распределения собственных частот
алюминия. Исследование особых точек в k-пространстве позволяет определить
только вид особенностей спектра, но не значения функции распределения.
Однако если известна форма спектра вблизи каждой особенности, то, как
показал Филлипс, хорошее приближение для всего спектра можно получить,
если правильно определить высоты главных пиков. Это было сделано
следующим образом. Филлипс принял высоты главных пиков в ка-
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 135
ждой ветви за неопределенные параметры, а для гладкой интерполяции
спектра между особенностями добавил в разложение функции распределения
около каждой особой точки достаточное количество линейных и квадратичных
членов. Параметры определялись из условия нормировки каждой ветви
спектра. В своем расчете Филлипс использовал вековое уравнение Уокера
[115]. Результаты Филлипса и Уокера приведены на фиг. 13. Приближенный
спектр наименее точен в области узкого пика в высокочастотной части
спектра. На основании своих расчетов Филлипс пришел к заключению, что
"если в распределении имеются только широкие пики, то с помощью простой
интерполяции между особенностями можно получить приближенный спектр с
точностью около 10%".
Асимптотические свойства моментов и высокочастотный конец спектра
Известно, что моменты высокого порядка определяются главным образом
поведением функции распределения при высоких частотах. Обычно верно и
обратное [131]. Если известно асимптотическое представление моментов, то
по нему может быть восстановлен высокочастотный конец спектра. Например,
если предположим, что частота равна единице, а момент цп при п -*• оо
имеет асимптотику
(3.5.9)
то в окрестности точки ю = 1 функция g(a) представляется разложением
g((o)== ^1-af1~- + 0 [(1 -"Г1]. (3.5.10)
Другие типы асимптотик рассмотрены в работе [117]. Можно получить более
полное разложение функции g((o), коэффициенты которого выражаются через
асимптотическое представление моментов. Например, если
136
Глава III
g{a>) имеет разложение вида
?(<¦>) = 2 а"( 1-(о),/,<я_1),
п=0
ТО
'(*+!)
а0= lim -7------------
0 к+жУИ Г(*+1)
И*.
(3.5.11)
(3.5.12)
_ (-
г(*+|(л + 2)) lim -А--i------f-X
лп - п г Нт я г
Л!Г(1(Л+1)) г(* + |(л + 1))
ХД
Лг (*+?)"
I Г(*+1) •**
(3.5.13)
где Д - оператор конечной разности. В пределе k-*oo можно записать
(A+/re)(A+m + l)~A2 и
Поэтому формулы (3.5.12) и (3.5.13) могут быть также записаны в виде
0Q
(-1)" 2"-1 п!Г
lim
ft->oo
/1"*'
lim k'hT"-'\ -jL k\, 1. (3.5.14)
где оператор T определяется равенством
Метод Хаустона
В 1948 г. Хаустон предложил приближенный метод вычисления спектров
собственных частот кубических решеток, который после некоторого обобщения
был при-
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 137
менен также для расчета термодинамических функций этих кристаллов. Хотя
метод Хаустона имеет определенный недостаток (его использование приводит
к появлению в спектре ложных особенностей), он получил некоторое
распространение, поскольку дает наилучший результат при низких частотах,
что весьма существенно для определения низкотемпературных
термодинамических свойств кристаллов. Из (3.2.2) мы получаем
= / 6(<o2-co2(k))rf3k, (3.5.15)
где V - объем первой бриллюэновской зоны, по которой берется интеграл.
Если перейти к сферическим координатам (k, 0, ф) и использовать
соотношение
*0(*))=2-ттеаг (3,5Л6)
где {*4 - простые нули функции f(x), то формула
(3.5.15) преобразуется к виду
Я 2Я
Ы(r)) = -5*г / sinedefdcpkjico, 0, Ф) ¦-*у("и6' ф), (3.5.17) о о
где функция kj((o, 0, ф) определяется из уравнения
ft) = a>j(6, 0, ф). (3.5.18)
Таким образом, мы видим, что (*/3 rV) Лу (to, 0, ф) дГЛу (to,
0, q>)/da> есть функция распределения частот /-й ветви спектра,
отнесенная к единице телесного угла в k-пространстве. Обозначим ее через
g,(to, 0, ф).
Идея, лежащая в основе метода Хаустона, заключается в следующем. Функция
gj((o, 0, ф) обладает кубической симметрией относительно переменных 0 и
ф, поскольку частота (c)(к) нормальных колебаний инвариантна относительно
любых ортогональных преобразований из группы симметрии кристалла. Это
означает, что функция gj(ca, 0, ф) может быть разложена в ряд по
кубическим гармоникам, имеющим симметрию решетки
СО
§]((r), 0. ф) = Ф)- (3.5.19)
1 т=О
138
Глава 111
Кубические гармоники Кт удовлетворяют условиям ор-тонормированности
Я 2л
/ sin 0с?0 f d(fKm (0, ф)АГя(0, <p)-4jcyA". (3.5.20)
о о
где ут - нормировочная постоянная, а 6mn - символ Кронекера. Первые шесть
постоянных ут имеют следующие значения [134]:
Yo = l, Vi = 0, b=Tri--57f Y3 = (3
у- 256 y* 33 • (65)2 • 17 '
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed