Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Марадудин А. -> "Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении" -> 43

Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.

Марадудин А., Монтролл Э., Вейсс Дж. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении — М.: Мир, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskayateoriyakrisreshetki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 114 >> Следующая

когда а меньше этого критического значения. Дифференцируя v (0) по 0, мы
получаем уравнение, определяющее критиче-
10*
148
Глава lit
ские точки
sin я9 = - a J] (-)" . (3.6.5)
Очевидно, что точки 0 = 0 и 0=1 являются решениями этого уравнения;
однако имеется еще и третье решение 0=0С (О<0С<1), которое соответствует
максимальной собственной частоте v(0c) решетки. Нетрудно проверить, что
точки 0=0 и 0=0С являются аналитическими критическими точками, в то время
как точка 0=1 неаналитическая. Первые две критические точки вызывают на
границах спектра особенности типа обратной величины квадратного корня.
Особенность функции G(со2), обусловленную критической точкой 0=1, можно
определить следующим образом. Заменим 0 на 1 - ср и воспользуемся тем,
что [149]
Тогда дисперсионная формула (3.6.3) для окрестности 0=1 принимает вид
Для получения выражения функции 0(ю2) мы должны переменную ф выразить из
уравнения (3.6.7) как функцию от "г - (при (о2 > <of) и затем
использовать формулу (3.2.3).
Уравнение
было решено Гиллисом и Вейссом [150], которые нашли, что
ОО
0 < ф < 2. (3.6.6)
~ = (2 - 2,1036 о) - ^ ф2 In ф -|- 0 (ф2). (3.6.7)
(3.6.8)
ш2 > to2. (3.6.9)
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 149
Для малых ф это приводит к результату
4 Г 8 ая2ш? 1-|/*
°((r)2)------ГГ -ГГ С(r)2 ~ (r)i) Г71-----2\ • ""2>(й2,
озгш\ I стя ш| ' ' 8 (ш - Ш[) I
(3.6.10)
О (а2) = 0, со2 < со2,
если (c)2 лежит в окрестности точки (c)J. Полученная особенность отличается
от особенностей, обусловленных близкодействующими силами, и является
более слабой из-за наличия логарифмического члена.
Розеншток [74] также исследовал одномерную двухатомную решетку с
кулоновским взаимодействием. Как и в первом случае, спектр собственных
частот оказался качественно подобным спектру двухатомной решетки с силами
конечного радиуса с тем отличием, что при некоторой промежуточной частоте
появляется новая особенность рассмотренного выше типа.
Обсуждение результатов, полученных для одномерных решеток, представляется
нам важным, поскольку, как можно показать, многие качественные
заключения, сделанные на основании этих исследований, справедливы также
для двумерных и трехмерных решеток.
Во-первых, оказывается, что функция со2 не является аналитической
функцией от 0. Этот факт противоречит результату, который получается для
любого взаимодействия конечного радиуса, и является следствием
предельного перехода радиуса взаимодействия к бесконечности, что
соответствует бесконечному верхнему пределу суммирования в (3.6.3). Если
же в этой сумме удержать сколь угодно большое, но конечное число членов,
то это может привести к аналитическим критическим точкам. Для двумерной и
трехмерной решеток соответствующий результат можно сформулировать
следующим образом: кулоновское взаимодействие приводит к неаналитической
зависимости элементов динамической матрицы от составляющих волнового
вектора к. Таким образом, к неаналитическим точкам, обусловленным
соприкасанием различных ветвей функции (c)(к) при учете взаимодействий
конечного радиуса, кулоновские силы
160
Глава III
добавляют новые неаналитические точки, возникающие в силу особой природы
межатомных сил.
Во-вторых, в одномерном случае неаналитическая критическая точка 0 = 1
лежит на границе зоны Брил-люэна. Используя преобразование с обобщенной
тэта-функцией, предложенное Эвальдом (151, 152), можно показать, что этот
результат справедлив для любых мо-ноатомных решеток. Для многомерного
случая справедливо следующее утверждение: точки неаналитичности
электростатических решеточных сумм моноатомных кристаллов могут
находиться только на границе бриллюэ-новской зоны, в частности в вершине
бриллюэновской зоны (я, я, я). Для кубических решеток с двумя атомами в
элементарной ячейке (например, для NaCl) точка неаналитичности элементов
динамической матрицы лежит в начале координат к=0.
В-третьих, мы видим, что новые критические неаналитические точки
возникают при любых конечных значениях о, т. е. при любой величине
кулоновского взаимодействия, и что новые особенности функции G(со2)
качественно отличны от обычных особенностей типа обратной величины
квадратного корня, характерных для одномерных решеток. Аналогичные
замечания можно сделать для двумерных и трехмерных решеток.
Другие модели одномерных решеток с дальнодействием были рассмотрены
Вейссом [147]. В частности, было показано, что если взаимодействие между
атомами определяется законом ехр(-Кг), где г-межатомное расстояние, то
функция g(co) может иметь самое большее две особенности, обе типа
квадратного корня. При достаточно больших значениях X в спектре остается
только одна особенность. Этот случай, очевидно, соответствует
близкодействию.
В 1952 г. Смоллет [77] исследовал спектр собственных частот двумерной
одноатомной квадратной решетки с потенциальной энергией взаимодействия
двух ионов
Ф(г)= ±
Для получения гистограммы функции распределения частот он использовал как
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed