Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
классифицируются. Так же просто найти критические точки, лежащие на
ребрах, поскольку для соответствующих значений 0 вековой определитель
представляет собой произведение трех диагональных членов, линейных
относительно to2. Знание числа различных критических точек на ребрах куба
(одномерных критических точек) используется затем для получения
информации о числе и типе критических точек на гранях куба (двумерных
критических точек). В частности, получено тождество
S2 - Мг = -J- (М? - АГО - 1, (3.4.3)
где S2 - число двумерных седловых точек на грани куба, Af2 - число
двумерных максимумов и минимумов награни куба, а ./И? и М[ - числа
одномерных минимумов и максимумов на ребрах этой грани, которых кривые
постоянной частоты касаются соответственно извне и изнутри. Знание
двумерных критических точек и соображения симметрии позволяют найти
критические точки, лежащие внутри куба. В работе Розенштока были получены
также поверхности постоянной частоты в 0-пространстве и для простой
кубической решетки были найдены все критические точки. По известному
поведению функции G(to2) в окрестности критических точек был восстановлен
и изображен графически спектр собственных частот при различном выборе
силовых постоянных взаимодействия между ближайшими и следующими за
ближайшими соседними атомами. Для иллюстрации на фиг. 8 приведен график
функции распределения частот для модели объемноцентрированной кубической
решетки. При расчете было учтено взаимодействие с ближайшими и следующими
за ближайшими соседними атомами. Параметр у равен отношению силовых
постоянных этих взаимодействий.
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 113
Хотя для нахождения трехмерных критических точек внутри элементарной
ячейки Розеншток в своей статье использовал информацию о числе и типах
двумерных
М* 2 2+у
Фиг. 8. Спектры квадратов собственных частот объемиоцеитри-роваииой
кубической решетки.
ц - безразмерный квадрат частоты. Параметр у равен отношению силовой
постоянной взаимодействия между ближайшими соседями к силовой постоянной
взаимодействия между следующими соседями. ц+ н ц_ - частоты, в которых
проявляются особенности, обусловленные седловыми точками [89).
критических точек, этот способ не был им математически оформлен и не было
получено соотношений, аналогичных (3.4.3). Однако в последующей работе
[90], используя такие же интуитивные соображений, как и при выводе
равенства (3.4.3), Розеншток получил соотношение, связывающее число
двумерных критических точек на поверхности зоны с числом трехмерных
критических точек внутри зоны. Этот результат будет подробнее обсуждаться
ниже.
Развитое Ван-Ховом топологическое обоснование критических точек функции
to (к) было расширено и обобщено Филлипсом {85]. В частности, Филлипс
отметил, что в то время как существование некоторых критических точек
может быть предсказано с помощью
8 Зак. 1491
114
Глава III
топологических методов Морса, другие критические точки можно найти,
используя только теоретико-групповые рассмотрения. Филлипс называет
совокупность критических точек, полученных с помощью соображений
симметрии, симметричным набором S. Существенный результат топологической
работы Морса заключается в том, что из наличия некоторых критических
точек с необходимостью следует существование других критических точек.
Морс выяснил, что числа критических точек различных типов связаны между
собой. Эти соотношения обычно не выполняются для критических точек
симметричного набора S. Наименьший набор критических точек,
удовлетворяющий этим соотношениям и содержащий набор S, называют
минимальным набором М.
Топологические соотношения между числами аналитических критических точек
легко получить для ветви, имеющей только аналитические критические точки.
Рассмотрим двумерный случай. Пусть п, - число аналитических критических
точек индекса /. Тогда выполняются следующие соотношения:
Ло>1; "1 - "0>1; "2 - "| + га0 = 0. (3.4.4)
В трехмерном случае числа N} удовлетворяют соотношениям
N0> 1, Nt-N0>2, ^-N, + ^>1,
N3 - Nj + N, - N0 = 0.
Выполняя последовательное сложение в (3.4.4) и (3.4.5), получаем
следующие неравенства:
в двумерном случае
/to ^ 11 ^ 2, flj ^ 1 (3.4.6)
и в трехмерном случае
N0> 1, W,>3, W2>3, W3> 1. (3.4.7)
Эти неравенства представляют собой как раз теорему Морса в формулировке
Ван-Хова, поскольку величины в правых частях неравенств равны числам
Бетти Ri для соответствующих многообразий. Равенства в соотноше-
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 115
киях (3.4.4) и (3.4.5) удобно использовать для построения минимального
набора.
Филлипс далее показал, что соотношения (3.4.4) и
(3.4.5) применимы также при наличии несингулярных и сингулярных
критических точек при условии, что каждой такой точке приписывается
индекс j и топологический вес <7>1. Вес q определяется как число,
показывающее, сколько раз критическая точка индекса / должна быть учтена
при определении чисел и входящих в соотношения (3.4.4) и (3.4.5). Так как
