Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
Самое большее, что можно сказать, это то, что в ряде случаев (в том числе
в некоторых физически важных случаях) минимальный набор М, определенный
Филлипсом, действительно содержит в себе все критические точки.
Мы видели, что наиболее важной качественной характеристикой функции
распределения частот является наличие у нее особенностей, положение
которых может быть определено независимо от других свойств этих функций.
Естественно ожидать, что знание особенностей G(w) при наличии небольшой
дополнительной информации даст возможность получить достаточно точную
картину спектра. То, что это в действительности так, мы увидим в
следующем параграфе, посвященном приближенным методам определения функций
распределения частот.
§ 5. Приближенный расчет функции распределения
частот
Метод подбора корней
Первый и наиболее простой метод приближенного вычисления функции
распределения частот заключается в следующем. Из векового уравнения
(2.1.24) находятся частоты для большого числа точек к-пространства,
равномерно расположенных внутри первой зоны Брил-люэна. Затем спектр
аппроксимируется нормированной гистограммой. Этот метод особенно
привлекателен, если имеется возможность расчета на электронной машине,
так как ясно, что точность результата возрастает с увеличением числа
точек в k-пространстве, для которых вычисляются собственные частоты.
Очевидным недостатком этого метода является то, что с его помощью нельзя
получить особенности спектра частот, если не рассчитаны частоты для очень
большого числа точек в зоне Бриллюэна. Это объясняется тем, что при
построении гистограммы необходимо учитывать мельчайшие "ступеньки", чтобы
показать изменения наклона спектра (для трехмерных кристаллов), и в
каждый ча-
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 119
стотный интервал требуется включить большое число частот, чтобы получить
точное значение спектра в этом интервале. Ниже мы покажем, что такие
расчеты теперь возможны. Для некоторых моделей кристаллов этот недостаток
можно устранить, если независимо определить положение и вид особенностей
и затем гладко соединить их с другими участками спектра, найденными с
помощью гистограммы. Второстепенное возражение против метода подбора
корней (которое, очевидно, может быть отнесено к любому приближенному
методу) заключается в том, что значительное расхождение вычисленных
спектров не приводит к соответствующим расхождениям в найденных с их
помощью значениях теплоемкости. Успех дебаевской теории служит
подтверждением этому. Поэтому критическое сравнение результатов теории с
наиболее просто измеряемой термодинамической величиной оказывается
затруднительным.
Метод подбора корней применялся к большому числу более или менее реальных
моделей кристаллов. Один из первых расчетов был выполнен Блекманом [55],
который вычислил температурную зависимость дебаевской температуры 0 и тем
самым теоретически доказал приближенность теории Дебая. Первые работы по
кристаллам NaCl и КС1 были выполнены Келлерманом [92] и Иона [93]. Эти
авторы показали, что температурная зависимость параметра 0 может быть
достаточно точно воспроизведена, если основываться на модели Борна -
Кармана1). Каро [96] применил метод подбора корней для вычисления
спектров собственных частот
*) Вычисление Келлермана недавно подверглось критике со стороны Дайала и
Трипати [94], указавших на то, что Келлерман приписал неправильные веса
частотам, соответствующим точкам внутри, иа гранях, на ребрах и в
вершинах неприводимого элемента первой зоны Бриллюэна в k-пространстве.
Кроме того, некоторые точки, которые следовало учесть, были опущены,
тогда как другие были включены ошибочно. Исправленные значения дебаевской
характеристической температуры не согласуются с экспериментальными
результатами.
Аналогичной критике со стороны Дайала и Синга [95] подверглись и
вычисления спектров собственных частот решеток типа алмаза, выполненные
Смит и Хеи. Эта работа будет обсуждаться ниже.
120
Глава III
галоидов лития и натрия. В своих расчетах он использовал модель
Келлермана для NaCl и просто изменил значения масс ионов и параметры
близкодействующих сил отталкивания, которые определялись по
экспериментальным значениям сжимаемости. При сравнении результатов с
экспериментальными данными по температурной зависимости 0 согласие
оказалось лишь удовлетворительным.
Слуцкий и Гарланд [97] опубликовали тщательно выполненное исследование по
динамике металлов с гексагональной плотной упаковкой. Они использовали
модель решетки, в которой каждый атом взаимодействует с шестью соседями,
лежащими в основной плоскости, и с шестью ближайшими и шестью следующими
за ними атомами, лежащими вне этой плоскости. Приближенно было учтено
влияние электронного газа на силовые постоянные. Четыре силовые
постоянные, входящие в эту модель, определялись по значениям четырех из
пяти упругих постоянных магния [99]. Пятая упругая постоянная была
использована для проверки точности вычисленных силовых постоянных.
