Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
в окрестности неаналитических критических точек не существует разложения
функции ю2(к) типа (3.3.5), то сопоставление такой точке индекса / не
может быть выполнено непосредственно. В случае несингулярной критической
точки мы должны сначала определить число положительных и отрицательных
секторов. Сектор представляет собой угол или телесный угол с вершиной в
критической точке, в котором величина to2 - to2 не меняет знака. Если to2
> (c)2, сектор называется положительным, если (о2 < (о2 - отрицательным.
Числа (Р, N) положительных и отрицательных секторов около критической
точки называют секторными числами этой точки. Секторные числа можно также
приписать сингулярным критическим точкам. Для их определения Филлипс
предложил геометрическое построение. Секторные числа определяют индекс /
и вес q данной неаналитической критической точки. Необходимое для этого
топологическое рассмотрение было выполнено Филлипсом. Свои результаты он
выразил в следующих трех утверждениях:
1. Если секторные числа равны (1,0) или (0,1), то <7=1, а /'=0 или 1
соответственно. Таким образом, искаженный минимум или максимум
топологически эквивалентен соответственно аналитическому минимуму или
максимуму.
2. В двумерном случае точка с секторными числами (я, п) имеет / = 1,
q-n- 1.
3. В трехмерном случае обычно только одно из чисел Р или N больше
единицы. В первом случае /=2, q=P-1; в последнем / = 1, q=N- 1. Если же
каждое
8*
lie
Глава III
из чисел Р и N больше единицы, критической точке можно приписать как /=
1, qi=N-\, так и /=2, Яг=Р- 1.
Эти правила охватывают все возможности, которые могут встретиться при
произвольном выборе силовых констант.
Приведенные результаты Филлипса и эвристическое рассмотрение Монтролла
были основаны на предположении о топологической эквивалентности
бриллюэнов-ской зоны тору, т. е. на циклических граничных условиях. В
важной работе Филлипса и Розенштока [91] эти топологические рассмотрения
были распространены на случай более общей области F, ограниченной
поверхностью S. В этой работе были уточнены и обобщены соотношения между
числами критических точек внутри заданной области и на ее поверхности,
найденные ранее Розенштоком [89, 90] интуитивным путем. Оказалось, что
результаты, полученные Розенштоком, не всегда верны. Соотношения
требуемого типа были получены строго с помощью теорем Морса. Кроме того,
интуитивные результаты были расширены и детализированы, правда,
недостаточно строгим способом. Мы кратко изложим результаты этого
исследования.
Функция to2 в своих критических точках предполагается невырожденной, т.
е. в критических точках определитель |<3"(o2/dfcidfcj| не обращается в
нуль. Основная цель работы заключается в получении связи между
особенностями на поверхности S и внутри области F. Установление такой
связи значительно упрощает задачу, так как поверхность S представляет
многообразие меньшей размерности, чем область F. Доказательство
результатов, которые будут приведены ниже, получено в цвумерном случае с
помощью гомоморфного отображения области F на трехмерную полусферу,
причем поверхность S отображалась на экватор. К получившейся
топологической конфигурации затем применялись соотношения Морса. Чтобы
привести конкретные результаты, мы введем некоторые обозначения. Пусть
критические точки для двумерного случая обозначаются через р0 (минимум),
pi (седловая точка) и р2 (максимум). Одномерные критические точки на
границе S (одномерные,
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 117
так как область F двумерная) обозначим через Сх (максимум) и с0
(минимум). Критические точки, лежащие на границе, можно подразделить на
два класса. К первому отнесем те точки, для которых функция to2
возрастает вдоль нормали, направленной в F, ко второму - те, для которых
функция to2 убывает. Величины, соответствующие этим двум классам, будем
различать знаками плюс и минус. Пусть rtj обозначает число точек pj в
области F, a bf - число точек cf на границе S. Тогда выполняются
следующие соотношения: в двумерном случае
2"о+ bo ^ 1 * (2"о 4" Ьо )-(2/ti -f- b\ -f- bo ) (2Tii -f- b\ ) = 2,
(3.4.8)
(2/io-|-6o')-(2\fi\-\-bt ^0-fl2~\~bi-6(f = l
и в трехмерном случае
2N0 + Bo+>l,
(2N0 + Во) - (2 Л/, + Bt + Во) < 1,
(2N0 + Во) - (2 Nx + Ы +Во) + (2 N2 + Bt +Bf) > 1,
(3.4.9)
(2/V0+Bo+) -(2N1^-Bt + Bo) +
+ (2 N2 + Bt + fif) - (2N3 + Bt) = 0, No - N\-{- N2 - Л/3+ Bt - Bt -f Bt
= 1.
В неопубликованной диссертации Головина сделана попытка найти особенности
для простой кубической решетки с близкодействием, используя только
алгебраические методы. Однако без применения соображений симметрии и
связности невозможно доказать, что таким способом будут найдены все
критические точки.
В заключение заметим, что, несмотря на множество работ по рассматриваемой
проблеме, в число которых входят работы Ван-Хова, Розенштока и Филлипса,
до сих пор не получено общего метода, который гаран-
118
Глава III
тировал бы, что с его помощью могут быть найдены все критические точки.
