Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
2560 (3.5.21)
91 - (11 -17 - 1Э)2 '
41984
Ye:
11 -(13-17-19-21-23)2
а первые шесть кубических гармоник имеют вид АГ0=1, /С, = 0, К2
= х*+у*+г*-± р",
К3 = х2у2г> + ± (?К2 - -fjg- р6,
^=^+у8+^-хр2^з-т§р4^-тр8' (3-5-22)
К5 = х'°+у'°+г'<>-§р>К<-(tm)9*Кг-^Р10*
+ 2431Р8^2 - В005 Р12'
где р2=дс2+у2+г2. Метод построения этих функций указан в работе Беттса и
др. [134].
Если подставить разложения (3.5.19) в (3.5.17) и воспользоваться условием
ортогональности (3.5.20), то получим
gj (со) = 4лад (<й). (3.5.23)
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 139
Для нахождения коэффициента с0((о) Хаустон поступал следующим образом. В
пространстве обратной решетки существуют направления, для которых вековое
уравнение распадается на уравнения более низкого порядка и которые могут
быть решены точно относительно ю как функции к. Такими направлениями
являются, например, направления (100), (110) и (111). Для этих
направлений уравнение (3.5.18) имеет вид (o = ")j(^s, 0S, <р3). Так как
для достаточно простых моделей эти уравнения могут быть явно обращены
относительно k, то отсюда следует, что мы можем получить точное выражение
функции gj((o, 0" <р"). Если теперь в разложении (3.5.19) оставить
столько же членов, сколько имеется направлений (0S, ф8), то величины
а"(<о) будут представлять собой рёшенйе системы линейных уравнений со
свободными членами, равными значениям функции gj(<n, 0, ф) для
направлений (0S, ф8). Например, если функция gj((o, 0, ф) известна вдоль
направлений (100), (110) и (111), то из (3.5.19) - (3.5.23) следует,
что1)
в>И = ¦§ W ((r))+ 16"?(ю) + 9в?(ю)], (3.5.24)
где индексы А, В, С обозначают соответственно направления (100), (110) и
(111).
Очевидно, что метод Хаустона может быть применен для приближенного
вычисления любого интеграла вида
Л 2Л
y=J sin 0flf0 f dq>/(e, ф) (3.5.25)
о о
при условии, что функция /(0, ф) обладает кубической симметрией. Следуя
Беттсу, Батиа и Вайману [134], обозначим направления (100), (НО), (111),
(210), (211), (221) соответственно буквами А, В, С, D, Е и F. Тогда если,
например, величину /(0, ф) для направления А обозначить через /а, то для
интеграла / можно получить
') Следует заметить, что в вычислениях Хаустона имеется численная ошибка.
Поэтому в его работе формула, соответствующая (3.5.24), записана неверно.
140
Глава III
следующие выражения [133]:
Л=|г[10/л + 16/в + 9/сЬ
¦V= Ш №а + 321 в + 243/с + 625/0].
Л = §- [6/л + 81в - 3/с + 24/в],
Л = ^ [17/л - 64/в -126/с + 243/^1,
Л = ш [1197/л +1456/e + 7291с + 3125/0 + 3888/*],
(3.5.26)
/" = 8ГШ0 I72~ 133127*~ 13608/с +
-+• 43 750/d 59 049/
Л = Ж f 117/л + 416/в + 294/с + 672/? - 729/,,],
'/*==То(tm)1117603/л + 76544/в+17496/с +
+ 381 250/D + 311040/? +177147/,,].
В качестве примера Хаустон применил свой метод к простой моноатомной
кубической решетке, вековое уравнение для которой имеет вид
2а (1 - cos 0i) + 4y sin 0i sin 08
+4y(2-C08 0! cos 02-
- cos 0| cos 03) - mo1
4y sin 0| sin 0j 2а (1 - cos 02) +
+4y (2-cos 0, cos 02-
- cos 02 cos 08) - mo?
4vsln0isln0a 4YSin03sin0l 2а (1 - cos 03) +
+4v(2-cos 0! cos 0j-
- cos 02 cos 08) - mo*
(3.5.27)
где а и y - константы взаимодействия между ближайшими и следующими за
ближайшими соседними атомами, 01, 02, 0з - безразмерные составляющие
волнового вектора. В рассматриваемом случае У=(2я)3. Естест-
4у sin 0t sin 0а 4v sin 03 sin 03
¦0,
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 141
венно решать уравнение (3.5.27) для трех направлений: 01=02=0; 01=0,
02=0S; 01=02=0з. Например, в первом случае для продольной ветви мы
находим
от(c)2 = (2а + 8\) (1 -cos 03) = (2а + 8у) (1 -cos 0). (3.5.28a)
Отсюда при значении \/а = 0,05, принятом Хаустоном, получаем
о г" - 1 а" ав ^ 8 [sln" УШ)ч\2
} 3(2я)3 dm (2я)* [(24/5) - q1]'^ '
(3.5.286)
где q = Vm/a ю. Решения для продольной ветви, соответствующие
направлениям 0j = O, 02 = 03 = 0/|^2 и 0j = 02 = в3 = Q/V3, имеют вид
(c) ? = У m!a MV2g (sin"1 [(15/8)-(15/8)0]Ц2
'4' 1 3 (2я)3 45 [Q - (7/15)]'Л (1 - Q)'1' Q
где Q=[l-(8/45)</2]'А и /?=[1 - (20/81 )q2]\ Приближение Хаустона для
gi((c)) получается в результате подстановки (3.5.286) и (3.5.296) в
(3.5.24).
Найденный с помощью этих вычислений спектр приведен на фиг. 14. Обращает
на себя внимание, в частности, появление в спектре ложных особенностей
типа обратной величины квадратного корня, обусловленное тем, что решение
векового уравнения для заданных направлений имеет такой же характер, как
для одномерных решеток.
та2 = 2а (l - cos pL) + 4y (2 - cos ^=- - cos2 pL) +
+ 4Ysin2pL. (3.5.29a) m(c)2 = 2a (l - cos pL) +16y sin2 .
Из этих формул получаем
(3.5.296)
Vт/а Щ (sin-1 V9/8 (1 - /?)'/"}2 3(2я)* 3/3(9R - I)1/" (1 - /?)'/* R '
142
Глава III
Вскоре после статьи Хаустона Накамура [136] опубликовал работу, в которой
пытался устранить этот не-
Фиг. 14. Спектр собственных частот для простой кубической решетки с
взаимодействием между ближайшими и следующими за ними атомами,
