Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
первых, диски могут вращаться вместе, как твердое тело; во-вторых, они
могут поворачиваться друг относительно друга и закручивать стержень.
Рассчитаем движение такой системы. Ее кинетическая энергия
1 2 2 '
где /1? /2 - моменты инерции дисков; <рх, <р2 - их углы поворота.
Потенциальная энергия U зависит только от разности - <р2:
тт - Ф2)2
и 2 ,
причем коэффициент к характеризует упругость стержня при кручении.
Представим себе, что мы скрутили систему и пустили ее. Тогда движение
будет совершаться под действием одних только 5*
68
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
внутренних сил. При этом справедлив закон моментов количества движения:
Л?1-*-/2?2 = const.
Если в начальный момент система была в покое, то const=О и
/i?i-t-/2?2 = const'.
Если теперь мы условимся отсчитывать углы так, чтобы для # = 0 было
Л<?1 ^2?2 == (1)
то это уравнение будет оставаться верным для произвольного t. Уравнение
(1) - это простое алгебраическое уравнение. Мы как будто получили систему
с одной степенью свободы. Нас интересует, каков период ее собственных
колебаний. Но мы не будем его вычислять, а рассмотрим вместо этого
аналогичный электрический пример (рис. 20). Введем обозначения:
Рис-20- Qi = R*. Q, = JV*
о о
(Qj и Q2 - заряды). Потенциальной энергией здесь является
электростатическая энергия
r/_(Qi-Q")a 2 С
Кинетической энергией здесь является магнитная энергия
j, ?iQi L2Q2
Кроме того, если взять обход, показанный стрелками, то по обобщенному
закону Кирхгофа имеем:
L& + L& = 0.
Сравните наши две задачи: они совершенно ^аналогичны. Те, кто занимается
электрическими схемами, сразу дадут ответ на вто-
СЕДЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
69
рую задачу. Две параллельно соединенные индуктивности эквивалентны одной
индуктивности:
Отсюда видно, что в механическом примере мы можем рассуждать так, как
будто у нас одна степень свободы, но момент инерции есть
Следовательно, период колебаний механической системы равен
Для меня механический пример не был сразу ясен. Я бы не смог сразу, не
рассуждая, заменить два диска одним диском с подходящим моментом инерции.
Между тем электрическая модель для меня совершенно очевидна. Вероятно,
для тех, кто много занимается пропеллерами, дело обстоит как раз
наоборот.
Еще одно замечание: чему в электрической системе соответствует вращение
всей механической системы как целого? Ему соответствует постоянный ток в
цепи из индуктивностей. Если он есть, то он будет продолжать течь
неопределенно долго (в случае отсутствия сопротивления). Здесь видно, что
теория колебаний систем с одной степенью свободы охватывает более широкий
класс явлений, чем это могло показаться с первого взгляда.
Перейдем к другому вопросу. Очень часто, когда делают выводы из той или
иной теории, забывают, что допущена определенная идеализация и впадают
при этом в большие ошибки. Вернемся к тем предпосылкам, из которых мы
исходили, когда рассматривали- маятник с одной степенью свободы. Мы
считали, что стержень не имеет массы. В сущности, этим мы откинули все
явления, связанные с тем, что стержень может колебаться, как
распределенная система. Казалось бы, естественно представить себе, что
стержень становится все более и более жестким, но здесь нельзя перейти к
пределу. Современная физика считает, что принципиально не существует
абсолютно жестких тел. Я приведу доказательство этого утверждения, данное
Лауэ. Предположим, что у нас имеется очень длинный стержень (рис. 21) и
пусть он абсолютно жесткий. Если мы передвинем конец А стержня,
r-Jih_ /1+/2 '
70
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
то в то же мгновение должен передвинуться и конец В. Теория
относительности утверждает, что это невозможно: она принимает в качестве
постулата, что скорость сигнала может быть только меньше или равна
скорости света. Выход из противоречия в том, что благодаря сжимаемости
стержня движение передается по нему не мгновенно.
Разберем другое сделанное нами предположение. Допустим, что мы можем
ограничиться рассмотрением одной степени свободы. Вообще говоря, закон
Гука не имеет места. Пользуясь, как мы это делали, законом Гука, мы
ограничились первым членом разложения силы, как функции смещения, в
степенной ряд. Можно ли отбрасывать остальные члены? Это очень важный
Я В
г_ мштш
Рис. 21.
и тонкий вопрос. Существует ли непрерывная зависимость между параметрами,
входящими в дифференциальное уравнение, и его решениями? Я не знаю,
рассмотрен ли этот вопрос где-нибудь как следует (кое-что сказано в книге
Куранта и Гильберта1). Между тем без такого рассмотрения никакая
математическая теория не может претендовать на физическую значимость.
Борель приводит пример, где сколь угодно малое специальное изменение
дифференциального уравнения ведет к коренному изменению характера
решений. Надо надеяться, что тот класс уравнений, с которым мы имеем
дело, не допускает подобных вещей. Пример Бореля связан как раз с
гармоническими колебаниями. Напишем уравнение
тхг -+- кх2 = const.
