Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 28

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 160 >> Следующая

Мы получаем семейство кривых, потому что константа может быть любая. Это-
-семейство эллипсов, причем через каждую точку проходит один эллипс (рис.
26). Подставляя в левую часть координаты точки, мы находим значение
константы. Но зададим
(6)
_rfjL _ р (Х'У) dx Q(x,y)
(7)
у2 а2х2 = const.
86
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
начальное условие х = 0, у - 0. Тогда константа равна нулю, и мы имеем
у2 а2х2 = 0.
Это не есть уравнение действительной кривой. Точка х = 0, г/ = 0 есть
особая точка: через нее не проходит ни одна интегральная кривая.
Второй пример.
dx у
Здесь, интегрируя, мы получаем:
у2 - а2х2 = const.
Это - семейство гипербол с общими асимптотами (рис. 27). Через особую
точку х - 0, у - 0 проходят две интегральные кривые, а именно асимптоты.
Мы получили уже два типа особых точек. В первом примере мы имели дело с
центром, во втором особая точка называется седлом (col - впадина горы).
Вернемся снова к консервативной системе, для которой
yy'-f(x)-
Особая точка
/(х) - 0, у = 0
либо седло, либо центр. Для того, чтобы узнать характер особой точки,
разложим около нее f(x) в ряд. Пусть в особой точке /(•*) - 0. Тогда
f (х) = а1х-л-а2х2...
ВОСЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
87
Если первый коэффициент отрицателен, то особая точка - центр, если
положителен - седло.
Каков физический смысл особой точки? В ней у - 0, т. е. скорость равна
нулю, и /(х) = 0, т. е. сила равна нулю.
Таким образом, особая точка изображает состояние равновесия.
Потенциальная энергия системы имеет в особой точке экстремальное значение
(максимум или минимум). Смотря по тому, будет ли аг положительным или
отрицательным, будет максимум или минимум потенциальной энергии. Случай
ах > 0 (седло) соответствует неустойчивому, (центр)-устойчивому
равновесию. Если система
консервативна, то могут быть только эти два типа особых точек. В
неконсервативных системах возможны еще и другие.
В самом общем случае (7) особыми точками являются точки пересечения
кривых P(x,y) = 0, Q (х, г/) = 0. Каждой особой точке соответствует
положение равновесия системы.
Представим себе теперь, что мы начертили интегральные кривые и нашли, что
среди них есть замкнутые кривые. Замкнутая кривая есть изображение
периодического явления. Доказать это очень просто. Пусть для t = 0 имеем
х = х0, у-у0. Если частица возвращается через некоторое время в положение
х = х0 и снова получает скорость у = у0, то дальнейшее течение процесса
идентично повторяется.
В этом рассуждении мы считали, что время возвращения т в исходное
состояние конечно. Может ли это время быть бесконечным? Нужно ввести одно
новое понятие, и тогда станет очевидным, что этого не может быть, у есть
скорость движения материальной точки. Совсем другое - скорость движения
изображающей точки (х,у) вдоль интегральной кривой на фазовой плоскости -
плоскости (х,у). Для этой фазовой (или диаграммной скорости в случае
уравнения (3) имеем:
Скорость dsjdt равна нулю, только если одновременно и f(x,y)-0 и у - 0.
Длина нашей замкнутой кривой конечна. Поэтому, если на этой кривой нет
особой точки, период будет конечным.
Если удалось доказать, что среди интегральных кривых есть замкнутые
кривые, то тем самым доказано, что возможны периодические движения. Для
отыскания периодических решений дифференциального уравнения надо
"ловить11 такие замкнутые кривые.
88
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Если найдены особые точки и замкнутые интегральные кривые
дифференциального уравнения, то найдены положения равновесия и
периодические движения системы.
Интересно реальное осуществление фазовых диаграмм. Представьте себе
катодный осциллограф. Пусть отклонение пучка в одном направлении будет
пропорционально току (х), а в другом, перпендикулярном - напряжению (у^--
х). Движение пятнышка представит тогда движение изображающей точки на
фазовой плоскости. Можно, таким образом, на опыте начертить интегральные
кривые.
ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
(15IXI 1930 г.)
Изображение движения на фазовой плоскости (продолжение). Особые точки и
замкнутые кривые. Фазовая картина некоторых консервативных систем.
Теорема вириала и се применение к кинетической теории газов.
Мы рассматривали в прошлый раз систему, описываемую уравнением вида
тх=/1 (х). (1)
Отсюда, интегрируя, получаем:
(tm)f- + F(x)=W, (2)
причегм
/i (х)~~ - F' (х).
Удобно рассматривать, вместо скорости х, величину
тх = у, (3)
называемую импульсом или иногда - моментом. При этом уравнение (1)
принимает вид
y = fi(x). (4)
Для случая поступательного движения точки или вращательного движения
твердого тела вокруг неподвижной оси скорость и им-
ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
89
пульс очень просто связаны между собой. В общем случае связь более
сложная, но она всегда определяется условием
где Т-кинетическая энергия. Разделив уравнение (4) на (3), получаем:
_/(?_) /сч
dx~~ у ' ' '
где f(x)^mf1(x).
Мы исследовали движение, исходя из этого дифференциального уравнения.
Можно было бы поступить иначе-интегрировать соотношение (2). В простейших
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed