Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
между х и х? Мы можем написать:
у - х.
Каждому значению х соответствует определенное значение у = у(х), т. е.
скорость есть функция координаты. Поставим вопрос так: какую скорость
имеет точка в данном положении? Ответить на него вовсе не легко даже в
случае консервативной системы.
Итак, мы хотим найти вид функции у(х).
Принято, вместо скорости у = х, вводить в рассмотрение количество
движения или импульс у = тх. Последующее изложение при этом значительно
упростится. Так делается в аналитической механике и в теории квантов. В
сложных случаях это существенно; но пока речь идет об одной степени
свободы, это не имеет большого значения.
Напишем:
у - у{х) - тх,
откуда
тх=у'{х)'х = м^- • (4)
Подставляя (3) в (4), находим:
УУ' = т/[х,-|г).
Мы получили, таким образом, дифференциальное уравнение для у как функции
от х. Первоначальное уравнение движения было второго порядка (в него
входила вторая производная от х по t), но у, выраженное как функция от х,
удовлетворяет уравнению первого порядка. Это существенно: между первым и
вторым порядком в случае нелинейного уравнения имеется громадная разница.
Всегда ли можно понизить порядок? Если бы в выражение для силы входили не
только х и у, но еще явным образом время t, то этого нельзя было бы
сделать: в правой части осталось бы t. Употребленный нами прием помогает
только тогда, когда t в выражение для силы не входит.
Можно ли физически выделить системы, у которых сила не зависит явно от
времени? Явная зависимость силы от времени означает, что есть постороннее
влияние на систему. Если система 6*
84
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
замкнута, то такой зависимости не будет. Системы, где сила явно не
зависит от времени, мы называем автономными. Вся область генерации
колебаний в радиотехнике (кроме вопросов модуляции) приводит к
рассмотрению именно автономных систем.
Мы свели задачу на исследование уравнения первого порядка. Зная у как
функцию от х, уже нетрудно получить зависимость смещения х от t.
Итак, перед нами математическая задача - исследовать уравнение
yy' - f{x,y) (5)
(для простоты мы положили т=- 1). Вообще говоря, решить такое уравнение
мы не умеем. Мы можем провести только качественное исследование. В общем
случае - это единственный путь. Для консервативной нелинейной системы
этот путь неизменно приводит к цели. Вообще говоря, это вещи очень
сложные, они требуют большого математического аппарата.
Вы знаете, что называется решением дифференциального уравнения. Функция
# = ?(*)
есть решение дифференциального уравнения (или удовлетворяет
дифференциальному уравнению), если ее подстановка в дифференциальное
уравнение превращает его в тождество. Возьмем плоскость х, у. Если у =
<р(jc) удовлетворяет дифференциальному уравнению, то кривая, изображающая
эту функцию, есть интегральная кривая.
Мы имеем одно уравнение первого порядка. Его общее решение зависит от
одной произвольной постоянной, а значит, имеются различные интегральные
кривые, соответствующие различным значениям этой произвольной постоянной,
т. е. целое семейство интегральных кривых. Мы можем поэтому потребовать
от функции ф(х), чтобы она удовлетворяла не только дифференциальному
уравнению, но еще и некоторому дополнительному условию. Потребуем, чтобы
при х~х0 было у=Уо¦ Здесь и у0-любые заданные величины. Нельзя заранее
утверждать, что всегда существует такая функция, но можно указать
достаточное условие того, что существует одна и только одна функция,
удовлетворяющая поставленному требованию. На нашем геометрическом языке
это требование означает, что интегральная кривая должна про-
ВОСЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
85
ходить через точку (х0, уи). Упомянутое выше достаточное условие таково:
если в данной точке
где М-некоторое положительное число, то через эту точку проходит одна и
только одна интегральная кривая. Таким образом, если в точке (х0, у0)
производная д[//у]/ду конечна, то через точку (л0,г/0) проходит
интегральная кривая, и притом только одна. Если же мы случайно попали в
точку, где условие (6) не удовлетворяется, то мы имеем дело с
сомнительным случаем - сомнительным потому, что высказанное условие -
достаточное, но не необходимое. Точки, для которых несправедливо
утверждение, что через них проходит одна и только одна интегральная
кривая, называются особыми точками дифференциального уравнения.
Оказывается, что они имеют огромное значение в теории дифференциальных
уравнений. Теория колебаний ими очень интересуется.
Возьмем немного более общий случай, чем (5), а именно уравнение вида
[в случае (5) Q(x, у)7=у]. Производная dy/dx всюду конечна, кроме точки Q
- 0. Если в точке х = х0, у=уа имеем Р(х,у) = 0, Q (*,#) = 0, то точка
является особой. Через всякую простую точку проходит одна и только одна
интегральная кривая. Через особые точки проходит несколько интегральных
кривых или же не проходит ни одной.
Рассмотрим несколько примеров.
Первый пример.
Это уравнение легко интегрируется:
