Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Его решениями являются синусоидальные функции, имеющие периодический или,
говоря более обще, осциллаторный (колебательный) характер. (Здесь
характерно чередование: максимум,
нуль, минимум и т. д.)
1 [Р. Курант и Д. Гильберт. Методы математической физики.
(М.-Л., 1951).!
СЕДЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
71
Изменим уравнение следующим образом:
тх2 -+- kx2 = const -+ X t,
(2)
причем константа 1 положительна и как угодно мала. Добавление члена Xf
качественно изменяет характер решений: уравнение (2) не допускает
колебательного решения. Действительно, в силу (2)
что исключает (так как ^>0) возможность равенства х - 0. Поэтому х не
может иметь максимума или минимума, решение не может быть осциллаторным.
Если бы мы получили уравнение (2) и откинули бы член с \ ввиду его
малости, то, даже интересуясь только изменением х на протяжении конечного
времени, мы получили бы в корне неправильный ответ.
К счастью, в тех случаях, с которыми мы оперируем, дело обстоит,
повидимому, благополучно. Однако вы видите, насколько нужно быть
осторожным: приходится предполагать, что мы такого рода отбрасывания
делаем удачно.
Вернемся к физике. Обычно говорят: в случае груза, висящего на пружине,
можно считать, что система имеет одну степень свободы, если масса пружины
мала по сравнению с массой груза. По существу это в конечном счете верно.
Смысл того, что я скажу-не в том, что обычное утверждение ошибочно, а в
том, что оно не разъясняет сущности дела. Ведь при выводе уравнения
движения рассматриваемой системы предположение о малости массы пружины
нигде не входит. 11ри выводе уравнения движения пользуются вторым законом
Ньютона:
справедливым независимо от величины массы т. Предполагается далее, что
При этом ни слова не говорится о том, что масса пружины мала. Но
известно, что если пружина имеет очень большую массу, то уравнение (3)
неверно. В чем же дело?
Мы сделали предположение, что если нижний конец пружины сдвинется на х,
то разовьется сила-kx. Это, вообще говоря, неверно. Эта гипотеза верна
только в статическом случае,
(тх -+- kx) х =
mx - f,
(3)
/=¦-kx.
72
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
если пружина растягивается достаточно медленно. В общем случае пружина в
разных своих частях сжата или растянута по-разному; при этом ее удлинение
не пропорционально силе.
Итак, существенно предположение, что пружина деформируется статически
или, точнее, квазистатически. Как это связано с величиной ее массы?
Строгий анализ показывает, что пружина сама может колебаться, как
распределенная система. При этом пружина уже не ведет себя
квазистатически. Но если масса пружины мала, то мы имеем право не
считаться с этими колебаниями, потому что они тогда очень быстрые и
весьма быстро затухают. Они изменяют картину только в "первый момент",
пока они еще не затухли. Но иногда уже "первый момент" чрезвычайно
существенен. Я приведу два примера.
Допустим, что мы оттягиваем пружину за середину (рис. 22) и отпускаем
(аналогично можно поступить с зарядом на конденсаторе). Если начальные
условия - "естественные" для одной степени свободы (т. е. в начальный
момент пружина деформирована однородно), то быстрые колебания не
возникают. Но в данном случае в первый момент пружина начнет быстро
колебаться, и эти быстрые колебания могут поглотить очень много энергии.
Потенциальная энергия равняется в начальный момент
к'ха 2 '
где к' - сила, нужная для того, чтобы оттянуть пружину на 1 см в месте
захвата. Если это место - середина пружины, то к'=2к, где к - жесткость
при растяжении за конец пружины. Таким образом, сила при том же самом
удлинении вдвое больше, если точка ее приложения находится в середине
пружины. Итак, потенциальная энергия равна в начальный момент
(2к) х-2 '
Когда натяжение в пружине перераспределяется, смещение груза останется
равным х, так как груз не успеет заметно сдвинуться. Поэтому после
перераспределения потенциальная энергия будет равна кхг!2. Отсюда видно,
что половина начальной энергии ухо-
СЕДЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
73
дит на быстрые колебания. Дальнейший процесс идет с половинной энергией.
Второй пример - электрический аналог первого. Сперва заряжается одна пара
пластин (рис. 23), затем проскакивает искра и возникают быстрые
затухающие колебания в контуре, состоящем из конденсаторов и соединяющих
их проводов (колебания эти быстрые из-за того, что соединительные провода
очень коротки). Вследствие этих колебаний происходит перераспределение
зарядов между пластинами. После того, как произошло это
перераспределение, два конденсатора можно рассматривать как один. Но в
первый момент этого делать нельзя, так как имеет место "неестественное"
начальное условие. Вместе с перераспределением зарядов происходит
перераспределение энергии. Часть энергии идет при этом на теплоту,
выделяющуюся при
быстрых колебаниях. ~\
Если забыть об особенностях на- о
чальных условий, то будет сделана ~Т~* i §
ошибка в энергии. Эта ошибка может ___0 0 |__________2
