Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 20

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 160 >> Следующая

свободы закон сохранения энергии не может дать и этого.
В неизданных при жизни рукописях Галилея содержится предложение
использовать маятник в качестве регулятора хода часов.
Маятник сыграл чрезвычайно большую роль в истории физики. Как известно,
он может служить для определения ускорения тяжести g-одной из самых
важных "естественных" величин.
Рише в 1774 г. провел сравнение значений g в Париже и Кайенне. Эти
значения получились различными, что объясняется вращением и формой Земли.
С помощью качаний маятника g может быть измерено до седьмого знака. Для
этого пользуются так называемым оборотным маятником, причем приходится
вносить поправки на трение и на архимедову подъемную силу.
Бессель использовал маятник для того, чтобы с большой точностью проверить
пропорциональность инертной и тяжелой массы. Уже Ньютон отлично знал, что
закон качания маятника (независимость периода от массы) справедлив лишь в
том случае, если тяжелая масса пропорциональна инертной. С доступной ему
точностью он показал на опыте, что эти величины пропорциональны одна
другой. Бессель доказал это с гораздо большей точностью - до 1/60000. Он
исследовал вещество метеоритов, воду и другие материалы.
Впоследствии Этвеш подтвердил, что все тела имеют одно и то же g, с
точностью 5-10-8 (но не с помощью маятника). Эйнштейн возвел это в
постулат общей теории относительности.
Пусть мы находимся в лифте. Все тела в нем давят вследствие притяжения
Земли. Представим себе, что притяжение отсутствует, тогда давления нет.
Но пусть лифт движется ускоренно вверх. Тогда, согласно постулату
Эйнштейна, тела давят точно так же, как и в том случае, когда действует
притяжение Земли. Если бы g для различных тел было различным, этого не
могло бы быть.
Явление, которое исследовали Ньютон и Бессель с помощью маятника, привело
к общей теории относительности.
Громадная точность, с которой измеряется период качания маятника,
достигается методом совпадений. Пустим маятник вместе с часами. Мало-
помалу они разойдутся. Пусть, например, маятник
62
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
часов имеет период 1 секунду и 1000 колебаний часов совпадают с 1001
колебаниями маятника. Тогда мы знаем, что за 1001 колебание маятника
прошло 1000 секунд, и отсюда находим период маятника.
Типичными механическими системами, совершающими гармонические колебания,
являются такие, в которых силы определяются упругими деформациями.
Если для балки (рис. 17) справедлив закон Гука, то сила пропорциональна
прогибу:
А = ос Р
(А¦-прогиб; Р - вес груза; ос-постоянная).
Если действует сила, пропорциональная смещению из положения равновесия:
F=-kx, то потенциальная энергия будет
Если на тело, которое может вращаться около оси, действует момент сил,
пропорциональный угловому смещению:
М= - Ку,
то потенциальная энергия будет
В нашем случае (рис. 17) потенциальная энергия
ШЕСТАЯ ЛЕКЦИЯ
63
(второй член появился вследствие того, что на груз действует еще сила
тяжести). Пренебрежем кинетической энергией балки. Кинетическая энергия
груза равна
Т- -
2 '
и, следовательно, полная энергия системы будет
ГУ гр Г Г Л/Л- kh2 ГУ ,
Е=Т -t-U- 9---Ph-
Легко привести это выражение к прежнему виду (сумма квадратов) заменой
откуда
х - h.
Тогда
Р_Мх* кх2 _Р^
2 2 2к
Закон сохранения энергии дает:
Mi2 , кх2 _ 2 2 2 - '
и, следовательно,
л: = С cos (at -+- ф),
причем частота
Здесь также период строго определен, если определена сама рассматриваемая
система.
В технике нас интересует, как к связано с константами балки. Теория
упругости дает:
, IcfibE
к"~ 4С2'(/~С)^ '
где Е-модуль Юнга материала балки, а а, Ь, с и I-геометрические
параметры, указанные на рис. 17. Таким образом, если балка дана, то,
подставив числа, можно рассчитать частоту колебаний.
64
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Рассмотрим еще случай кручения. Пусть имеется (рис. 18) стержень круглого
сечения с диском на конце. Здесь
гл
Уравнение колебаний есть
М.
2
Т -
/ф-
так что здесь опять получается гармоническое колебание.
Частота его равна
¦у- f •
Согласно теории упругости G*ri
К-
21
Рис. 18.
Рис. 19.
где G - модуль сдвига материала стержня, г - радиус его сечения, / - его
длина. В случае спиральной пружины К тоже имеет очень простое выражение.
Во всех случаях, когда действуют упругие силы, подчиняющиеся закону Гука,
имеют место изохронные гармонические колебания, т. е. колебания с
периодом, зависящим только от системы, но не от начальных условий.
Возьмем теперь электрическую систему, состоящую из емкости С и
индуктивности L (рис. 19). Электрическая энергия есть
Q-
2 С
где Q - заряд конденсатора, а магнитная энергия
ШЕСТАЯ ЛЕКЦИЯ
65
где i-Q-сила тока. Если отвлечься от сопротивления, как мы это делали
раньше, то закон сохранения энергии дает:
Q2 ,
2С 2
Таким образом, здесь тоже происходят гармонические колебания с периодом
т - 2- \ПлГ.
Это - знаменитая формула Томсона.
Математическое условие гармоничности колебаний может быть сформулировано
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed