Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
быть очень велика (может превратиться в тепло любая доля энергии), в
зави- ^ис-
симости от точки приложения силы
(в случае пружины) или от соотношения емкостей (в случае конденсаторов).
Итак, не нужно забывать, что могут быть такие начальные условия, при
которых обычная идеализация не является справедливой.
Рассмотрим теперь системы с одной степенью свободы в более общем случае,
когда емкость и индуктивность зависят от величин электрического и
магнитного поля. Так будет в случае катушки с железом и конденсатора с
сегнетовой солью. Поведение таких систем при больших амплитудах
описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. Написать эти
уравнения легко, но они мало изучены. Здесь можно пойти в таком
направлении: можно стараться представить себе на основании самого
дифференциального уравнения, не решая его, всю качественную картину
движений. Особенно важен и плодотворен этот подход в теории так
называемых автоколебательных систем. Этими вопросами мы будем в свое
время заниматься1.
X
о
о
о
о
о
Рис. 23.
1 [См. 13-ую и 14-ую лекции.]
74
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Постараемся, применяя эти методы, выяснить картину движения, не
ограничиваясь специальным случаем линейности. Пусть уравнение движения
имеет вид
тх = f (х),
где f(x) - однозначная функция х. Умножив уравнение на dx/dt и
проинтегрировав, мы получим, обозначив
F'(x) = -f(x),
первый интеграл:
{W-постоянная). F(x) называется потенциальной энергией. Это уравнение
выражает закон сохранения энергии (мы имеем дело с консервативной
системой).
Пусть для простоты т = 2. Тогда, обозначив
W-^(л)=ф(л),
имеем:
7Й=±1/ф(*)- (4)
Двузначность квадратного корня имеет огромное значение для поведения
системы. С ней связана возможность периодических (и вообще колебательных)
решений.
Рассмотрим уравнение
Ж = Их),
где '{'(л:)- однозначная функция от х. Такое уравнение не допускает
периодического решения (оно соответствует телу без массы, движущемуся в
вязкой жидкости). Физически ясно, что здесь не может быть периодического
движения: при периодическом движении тело должно поочередно проходить
одно и то же положение, двигаясь в одну, затем в другую сторону, т. е.
при одном и том же х скорость должна иметь то один, то другой знак. Но
здесь, при данном х, скорость dx/dt имеет вполне определенное значение,
и, следовательно, это невозможно. В случае же консервативной системы, из-
за наличия двух знаков, это не запрещается.
Заметим, что Ф(л:)^0 (мнимые скорости не рассматриваются).
СЕДЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
75
Рассмотрим ряд случаев.
1. Пусть на всем рассматриваемом интервале значений х функция Ф(*) не
имеет корней, т. е. не обращается в нуль. Так обстоит дело, например,
тогда, когда точку отталкивает сила, пропорциональная расстоянию.
Перепишем дифференциальное уравнение (4) в виде
dt = -j2=
V Ф (х) '
откуда
t-л-С- (%?=.
J "Ф(х)
*0
Предположим, что мы пускаем часы (f = 0) в тот момент, когда х = х0 (мы
вводим специальный отсчет времени). Тогда С -0.
С увеличением х здесь t монотонно растет. Скорость направлена всегда в
одну сторону. Мы еще не нашли х, как функцию от t, т. е. х = x(t). Однако
мы уже знаем, что t - монотонная функция от х. Следовательно, ее можно
однозначно обернуть. Таким образом, мы решили качественную задачу. Мы
знаем, что тело все время движется в одном и том же направлении. Может
случиться, что х обращается в бесконечность при конечном значении t, т.
е. тело за конечное время уходит в бесконечность. Но нормальный случай -
тот, когда точка уходит в бесконечность за бесконечное время.
2. Пусть функция Ф (л:) имеем два корня:
Ф(*,) = 0, Ф(х*) = 0,
и пусть начальное значение лг = л:0 заключено между этими корнями:
< *о < *2-
Тогда
i= С d±==
J ^Ф(х) '
*0
причем
Ф (л:) = (х2 - х)(х- Xl) Ф (л:)
и Ф (л:) в интервале xt<^ х <С х2 не обращается в нуль. Так как Ф(л:)^0,
то в интервале хх<Сх <Сх2 имеем Ф(лг)>0; значения Ф (*]) и Ф {х2) могут
равняться нулю. Если Ф (jcj) равно нулю,
76
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
то л:, - кратный корень функции Ф (л:). Аналогично обстоит дело с V (х2).
В общем случае можно написать:
Ф (л:) = (х2 - х)т (л: - x^" W (л:),
где т и п - целые числа, указывающие кратность корней х2 и х1г a Ч' (л)
=т^= 0 на сегменте хх ^ х ^ х2. Заметим еще, что если корень - двойной,
то в нем не только Ф (л:), но и Ф?(х) обращается в нуль.
Рассмотрим случай простых корней.
Пусть сначала dxjdt- положительная величина. Точка движется в сторону
возрастающих х. При х = х2 она имеет скорость нуль. Достигает ли она
положения х = х2 за конечное или за бесконечное время? Оказывается, что
если корень х = х2 - простой, то она достигает положения х = х2 за
конечное время.
Это следует из известной теоремы, согласно которой при т = оо интеграл
J/W dx
а
конечен, если в окрестности точки Ъ
\{b-xYf(x)\<C,
причем р<С1; в нашем случае простого корня это неравенство выполняется
при р = 1/2- Оказывается далее, что если корень х = х2 - кратный, то
