Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
аппроксимацию оЕ = аЕс, получим
Проводимость, таким образом, является активированной, причем энергия
активации соответствует расстоянию между энергией Ферми и краем
подвижности. Температурная зависимость этой проводимости такая же, как в
полупроводниках, в которых энергия Ферми расположена в запрещенной зоне.
Эта эквивалентность, безусловно, вытекает из принятого нами допущения,
что локализованные состояния ниже Ее не дают вклада в проводимость.
Поэтому выражение (3.8) должно быть расширено, чтобы включить эти вклады.
Его существенное отличие заключается в том, что для Т'= О проводимость ав
исчезает ниже Ес. Носителю заряда невозможно диффундировать из одного
локализованного состояния в другое без какой-либо затраты энергии. Лишь
тепловые колебания решетки делают переходы возможными. Поэтому ниже Ке
механизмом переноса является перескок с участием фоноиа (phonon assisted
hopping)'. Обратимся теперь к рассмотрению этого вопроса.
Мы уже встречались в § 12 с прыжковой проводимостью, обусловленной
перескоками носителя заряда между локализованными состояниями. Там
причиной локализации было образование малых поляронов. Переход электрона
из еамоиндуцированной потенциальной ямы к соседнему узлу решетки стал
возможен благодаря соответствующему локальному искажению решетки. Переход
происходит за счет участия фонона.
В неупорядоченных решетках энергии локализованных состояний простираются
по широкому интервалу. Смежные локализован-
(3.7)
а = gEc ехр [- (Ес - EF)/kBT].
(3.8)
§ 32. Вероятность перескока
*) Имеется в виду вероятность- перехода в единицу времени носителя к
ближайшему соседу. (Примеч.' пер.)
144
ГЛ. 3. НЕУПОРЯДОЧЕННОСТЬ
иые состояния могут обладать сильно отличающимися энергиями. При любом
переходе разность энергий должна быть возмещена фононом. Вероятность
перехода может стать настолько малой, что переход к более удаленным
состояниям, который включает меньшую затрату энергии, становится более
вероятным. Таким образом, следует добавить к перескоку к ближайшему
соседу новую возможность перескока, а именно, перескок на меняющуюся
длину. Такие процессы мы рассмотрим в дальнейшем, предполагая, что
полярон-ными эффектами можно пренебречь и что в переходе участвует только
один фонон. Это упрощение не всегда отвечает эксперименту.
Рисунок 44 иллюстрирует процессы перескоков между состояниями, которые
статистически распределены как в пространстве,
?\ ~ - -----------------------------------
А -
Рис. 44. Процессы перескоков между локализованными состояниями со
статистически распределенными положением и энергией. Вероятность
перескока определяется расстоянием в пространстве и разностью энергией
между двумя
состояниями
так и по энергии. Рассмотрим, в частности, два , состояния,
локализованные возле Ri и Rj. Допустим, что они обладают энергиями Et и
Es (Ej > Ei). Легко можно получить доминирующие члены в вероятности
перехода и>ц.
Электрон проходит расстояние = !Rj - RJ путем туннелирования. Фактором,
определяющим вероятность туннелирования, является перекрытие волновых
функций этих двух состояний. Простейшим выражением волновой функции
локализованного состояния является экспоненциально спадающая от центра
ехр(-|r - R{|A), где Я - мера протяженности состояния (длина
локализации). Если % одинакова для двух состояний, вероятность
туннелирования пропорциональна ехр(-2RJ%).
Разность энергий W = Е$ - ?> (для положительной W) должна быть обеспечена
фононом. Поэтому W не может быть больше, чем максимальная энергия
фононного спектра. Здесь и заключена трудность нашей упрощенной модели.
Принимая во внимание, что мы ограничились неполярными твердыми телами,
можно использовать приближение Дебая (ч. I, § 32). Тогда для однофононных
процессов W < feB0d = ftsgD. Здесь 0D - дебаевская температура, gD -
максимальное волновое число в дебаевском спектре и s - скорость звука.
Число фононов с энергией W в состоянии теплового равно-
§ 32. ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕСКОКА
14S
весия входит в вероятность перехода. Для достаточно низких температур
(къТ <.W) она дается больцмановским фактором ехр(-И7ВД- В целом имеем,
таким образом, для вероятности перескока
Wij = w0exр^-дЛя W> 0. (3.9)
Фактор w0 может быть вычислен, только когда мы сделаем дальнейшие
предположения о локализованных состояниях и электрон-фононном
взаимодействии. В фундаментальной- работе Миллер и Абрахамс нашли (для
ссылок относительно перескоков различной длины см., например, обзор
Оверхофа [103.XVI]), что
- (>->")• ("0)
Здесь Ei - постоянная деформационного потенциала (ч. II, § 49)', ро -
плотность и А0 - обменный интеграл. t
При заданной W вероятность перехода wiS уменьшается с увеличением
расстояния и падением температуры. Однако, поскольку W является функцией
R (сопоставьте с рис. 44), w{1 будет иметь максимальное значение при
определенном R. Ниже мы вернемся к этому.
До сих пор мы рассматривали только вероятность перескока в состояние
более высокой энергии. В противоположном случае, при перескоке от Es
