Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
в (П.20] где G (k, t) при t > 0 не равна нулю только вне ферми-сферы, а
при t < 0 -только внутри ферми-сферы.
Дальнейшее преобразование дает из (7 (k, t)i
Рис. 47. К интегрированию в (П.22)
G (к, rn) = j-rz
Й. со*- Ek -j- гб
(П.21)
с бесконечно малым б (б > 0 для А>Ар и б<0 для А < Ар). Это проще всего
доказать путем подстановки (П.21) в (П.17):
G (k, t) =
4-00
=-*- fi
2п? J
Hi ехр (- iat) Й,со - Ек -j- i6
d(?>.
(П.22)
Интегрирование проводится в комплексной плоскости со (рис. 47).
Подынтегральное выражение имеет полюс при со = (?к - ?$)/&.Он лежит над
или под действительной осью, когда А меньше или, соответственно, больше,
чем Ар. Если! трансформировать контур интегрирования в полуокружность
бесконечно большого радиуса в верхней или нижней полуплоскости согласно
рис. 47, то при помощи теоремы о вычетах после предельного перехода б -*•
О
158
получаем:
ПРИЛОЖЕНИЕ. ФУНКЦИИ ГРИНА
' ! -1 - 1 для-t >0, к>ку,
G(k, t) = ехр - -L Ekt { , " л в остальных случаях = 0._
\ % к J ( + 1 для t < 0, fe<feF,
(П.23)
Это идентично с (П.20).
¦ Аналогичные рассуждения-проводим теперь для электронного газа с
взаимодействием. Исходя из (П.14), записываем
G (к, *) = - |ехр (± Ht) ск ехр (- | Ht)
= -? \То|ск"р(-хЯ*)
ф- \ = °/
V6XP(tM'
f >0,
G(к, *) = "< Ф"
ск ехр (i- Яг) скехр
К81)
(П.24)
= г\Ч>|ск ехр (^-Я*)ск Фо/ехр(- ТЕ°*)' t<0'
При этом мы воспользовались тем, что
ехр [- (i/%) Ht] | ф-0> = ехр [- (i/%) E0t] | Ф^),
причем Е0 есть энергия основного состояния системы с взаимодействием.
Матричные элементы в (П.24) преобразуем, вставляя коэффициент 1 = 21 Ф^1)
гДе Ф^1 есть полная система волновых функций си-
п
стемы, отличающейся от рассматриваемой системы на одну частицу:
Ф* скехр
I ск I Ф^ / =
(--И'
= 2\чг"к"р[~тт) T?+1)<T?+1KK> (IL25>
п * ' С
и, соответственно, но с Ф"^-1, для второй строки в (П.24)*). Вследствие
того, что
ехр [- (i/%) ЯгЛФ^Ф1) = ехр [- (i/%) Е^1] | Ф^1),
имеем
G (к, *) =
- г 21 <K+1 | 41 Фо*> I2 ехР [- ~ (Еп ±1 - О *]. - * > о/
* 21 <Y?-114| <>|*ехр[х(^-1-<)*]• *<о. (П.26)
Обычно полагают Е%+1 - Ео = 6n+1 + Eo+1 - Ео ~ еп+1 "Ь Р (Я), разде-ляя
эту разность, таким образом, на энергию возбуждения (N + 1) -й частицы и
химический потенциал (изменение энергии основного состояния вместе с из-
*)~Т. е. дли случая t < 0. (Примеч. пер.)
ПРИЛОЖЕНИЕ. ФУНКЦИИ ГРИНА " 459
менением-числа частиц). В таком случае энергетические показатели
экспонент в (П.26) принимают вид е^+1-|-р,, или, соответственно, - р..
Суммы в (П.26) моншо еще преобразовать в интегралы посредством введения
спектральных функций ' •
А (к, Е)='2\ (VS+11 4 I ЧГ"> j* 6 (Е-4+1),
П
В (к, Е) = 21 1 ск | *?> I2"(Е - вГ1)-
71 '
Тем самым цолучаем, наконец,
оо
- i j dE А (к, Е) ехр (?.+ р) tj, t > О,
(П.27)
С (k, t) =
ОО '
+ i ^ dE В (к, Е) ехр|у- (Е - р) i|, t < О,
(П.28)
I о
и отсюда находим [доказательство, как для (П.21)]
- ОО
^ , С 4 (k, Е) В (к, Е) }
G(k, со) - S.J JS+ ?Ш + я_р_ 4б|' (П.29)
о -
Таким образом, G (к, со) для системы с взаимодействием представляется в
виде интеграла по соответствующим функциям свободной системы с весовыми
функциями А (к, Е) и Z?(k, Е).
Для случая отсутствия взаимодействия из (П.27) следует
A (k, Е) = (1 - гек) 6 (Е + р - 1?к), В (к, Е) = гек6 (7? - р + ?'к),
(П.30)
в результате чего (П.28) и (П.29) переходят в (П.20) и (П.21).
Если включается постепенно взаимодействие, то можно ожидать, что б-
функции в (П.30) уширяются. Пусть форма функции A (k, Е) определяется
приближенно посредством
гк
А (к, Е) со ------г--(П.31)
Тогда, в результате подстановки в (П.28), получаем
G (k, f) оо ехр -j- Ektj ехр (- Гк<). (П.32)
Рождаемая оператором ск квазичастица в системе с взаимодействием имеет
лишь конечное время жизни Г^1. Это происходит оттого, что в системе с
взаимодействием C+V(0) не является .собственным состоянием. •
Спектральная функция Л (k, Е) вида (П.31) возможна в том случае, когда
аналитическое продолжение A (k, Е) в комплексную Е-плоскость имеет полюс
при Ек - 1Гк. Вещественная и мнимая части этого полюса, являющегося также
полюсом функции Грина G(k, ю),.определяют, следовательно, энергетический
спектр и время жизни возбуждений рассматриваемой системы фермио-. нов. В
зависимости, от расстояния полюоа от действительной оси время жизни будет
большим или малым.
160
ПРИЛОЖЕНИЕ. ФУНКЦИИ ГРИНА
Вообще аналитические свойства спектральных функций и, следовательно, G(k,
со) являются сложными. Вклады в G(k, со) вносят многие полюса и
остающийся контур интегрирования в комплексной плоскости. Только когда
преобладает вклад одного (ближайшего к действительной оси) полюса и этот
полюс расположен достаточно близко около действительной оси, определение
квазичастиц как элементарных возбуждений системы с взаимодействием имеет
смысл.
В этом рассмотрении мы ограничились принципиальной взаимосвязью между
функцией Грина и свойствами системы фермионов. Аналогичные рассуждения
возможны и для бозонов. И в этом случае также приходят к времени жизни
