Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
обратно к Et, находят соответствующие формулы для г%, в которых опущен
лишь фактор ехр(-W/kBT). Это видно проще всего из требования, что в
состоянии равновесия скорости переходов в двух направлениях должны быть
одинаковыми. Скорости пбреходов определяются как произведение вероятности
перехода, вероятности заполнения начального состояния и вероятности
незаполнения конечного состояния. Таким образом, в состоянии равновесия
ГЬ = /i (1 - /;) Шц = fi (1 - fi) WH s (3.11)
откуда- при /Г\= 1 + exp [(Е{ - E?)/kBT] немедленно следует, что
Wn = Wij ехр ( \вт~1 ) = ехр (т^)'
Равенство (3.11) может быть упрощено, если считать все энергии большими
по сравнению с квТ. Тогда вероятность заполнения f{ = [1 + ехр^/йцГ)]-1
есть 1 для отрицательных х и равна ехр (-х/квТ) для положительных х.
Находим
Г?* = Yo ехр [- 2R/X -
-(\Е{-Ев\ + \Е}~-Ев\ + \Е1-ЕЛ)12квТ\. (3.13) Здесь фактор Y" лишь слабо
зависит от W.
146
ГЛ. 3. НЕУПОРЯДОЧЕННОСТЬ
Чтобы определить проводимость и ее зависимость от температуры и других
параметров, необходимо теперь рассмотреть скорость перехода Гч -Г* в
электрическом поле. В этом случае следует добавить фактор -eERy к
разности энергий между состояниями W = Е} - Et. В то же время необходимо
принять во внимание тот факт, что вероятность заполнения локализованных
состояний меняется. Это делается заменой энергии Ферми Ev (значение
химического потенциала в равновесном состоянии) зависящим от
пространственных координат электрохимическим потенциалом щ = = Ev + 6pi:
/Г1 = 1 + ехр [(Ei - Е? - бщУ&вЛ- (3.14)
Вклад, который дают переходы между двумя состояниями i и ; в
электрический ток, пропорционален разности Гц - Тц. Если положить _
' /
wi} (Е). = w% + bwih fi = fl + 6fu (3.15)
то следует, что
г г ¦ - Г-
* гз х л - х г)
./?(!-/?) /К1-/!)
(3.16)
с rfj из (3.13). Для слабых полей и небольших отклонений химического
потенциала от его значения в равновесном состоянии можно разложить
экспоненту в ряд и получить
~ б^- (зл?)
Величина в круглых скобках в правой части равенства (3.17) есть полная
разность потенциалов между точками R,- и R,.
, § 33. Перескоки фиксированной л переменной длины
Для оценки температурной зависимости прыжковой проводимости рассмотрим
модель, типа изображенной на рис. 44. Предположим, что энергии
статистически распределенных локализованных состояний распределены по
конечному энергетическому интервалу. Таким образом, нас интересует
примесная зона, которац уширена за счет флуктуаций потенциала
компенсированных примесей. Процессы перескока между смежными состояниями
требуют большей энергии, чем между бол^е отдаленными состояниями. Мы
хотим выяснить наиболее_вероятную длину прыжка R и соответствующую
разность энергий W. Используем их в выражениях (3.17) и,(3.13), чтобы
определить температурную зависимость отдельного прыжка, и положим ее
равной температурной зависимости самой прыжковой проводимости. -
¦
§ 33. ПЕРЕСКОКИ ФИКСИРОВАННОЙ И ПЕРЕМЕННОЙ ДЛИНЫ 147
При высоких температурах существует достаточно фононов о энергией W*.
(средняя разность энергий между смежными состояниями) для того, чтобы
могли иметь место процессы перескоков между близлежащими состояниями. В
'выражении для скорости перехода R делается равным R0 (среднее расстояние
между ближайшими соседями). Следует рассмотреть две возможности для
зависящего от температуры фактора в скорости перехода: если переходы
происходят вблизи энергии Фермп, т. е. от состояния Еf < ЕР в состояние
Е}>Е?, (3.13) ведет к фактору ехр.[- (Es - Е{)ЛсвТ] = = ехр(-W°/kJiT)-,
если переход происходит между двумя Et, Es, которые оба лежат выше ЕF,
получаем фактор ехр[- (Ef - Ev +, rf* Ил,)/&в7']. Мы вернемся к этому
различию в следующем параграфе. Сейчас лишь констатируем, что при высокой
температуре эта оценка ведет к ¦активированной проводимости.
При низкой температуре нет фононов с энергией W". Электрон должеп
туннелировать, чтобы достичь более отдаленных состояний (R > R", но W <
W"). Наиболее^вероятная длина прыжка R и разность энергий W могут быть
легко оценены. Для этого рассмотрим состояние (Ri, Е;) вблизи энергии
Ферми и спросим, какой радиус R должна иметь сфера вокруг Rt для того,
чтобы найти внутри нее одно состояние с Ej = Et+W. Если предположить, что
плотность состояний g является постоянной по интервалу рассматриваемых
энергий, то число состояний с энергиями между Е{ и Е{ + W в сфере радиуса
R равно (4я/3)R5gW. Находим одно состояние для W = = 3/4nR3g. Можно
использовать эту зависимость W(R) для определения экстремума показателя -
2Rj/X - Wq/k^T в вероятности перехода. Он имеет место при R =
(9^/8я&в7,?)1/\ 1Е = 3/4яД3#. Подставляя эти величины в вероятность
перехода, получим, для и, следовательно, для проводимости а следующую
температурную зависимость: '
¦ "~"p(-nvnn г.-va^r <3-18>
Это - закон Мотта Tl/i.
Предположение, что все прыжки происходят на заданную длину R (перескоки
фиксированной длины), оправдывается только для перескоков между
