Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
1)Д где р - число перестановок, которые образуют упорядоченное по времени
произведение из праизведения операторов поля в (П.7).
Для фермионов операторы поля зависят еще от спина фермиона. Поскольку
далее спин нам не потребуется, спиновые индексы опускаем.
Если записать условпе упорядочения по времени в явном виде, то получаем
для функции Грина фермионов
б I -Кто1$(г1' *1)$+(г2> *а) 1 Т0> ДЛЯЛ>*2' (П д)
ПЛИ
+ * <*, I ^ (Г2> Q V (Г1> *l) | V ДЯЯ *1 < *2'
G = { i^)$+(vy|To>' (П10)
+ (6 (t2 - ti) <т01 г (r2, g $ (Г1,у | Т0>,
где 0(0 -ступенчатая функция: 0(0 =0 для f < 0 и 0(0 = 1 Для t > 0.
В дальнейшем будет показано, что функция Грина содержит всю информацию
относительно рассматриваемой системы. При этом мы ограничиваемся
обсуждением, электронного газа, который уже рассматривался в гл. II, ч. I
(без взаимодействия) и в гл. III, ч. I (со взаимодействием).
Вследствие (пространственной и временной) трансляционной инвариантности
оператора Гамильтона функция Грина может зависеть только от разностей г =
г, - г2 и t = t\ - t2:
G - G(Ti - r2, ti - i2) = G(t, t).
От этого предположения нам придется позже, когда мы будем рассматривать
электронный газ в потенциале ионов решетки, отказаться.
Важными величинами являются фурье-преобразования функции Грина. Прежде
всего делаем преобразование только относительно пространственных
координат и определяем
G (k, t) = J G (г, <) ехр (-ik-r) dx, (П.И)
где
<3 (г, i) = J" G (к, *) ехр (Ёк-г) <гтк- (П.12)
Для электронного газа, приравнивая, ради простоты, г2 и I? нулю, положим
G(k, f) = j dx ехр (- ik-r) {- i j T [$ (r, t) ?+ (0, 0)] |?в)] =
- F" 2 f dr exp (-ik-r) {- i | T [exp (ik'-r) ck, (t) c+, (0)] |^Q>},
(П.13) e k'k" • ' ¦ ,
где ck (t)-операторы в представлении Гейзенберга. Матричные элементы
равны нулю, когда к' ф к". Если положить к' = к", то интегрирование дает
даль-11* • -
156 ПРИЛОЖЕНИЕ. ФУНКЦИИ ГРИНА
нейшее условие: к' = к. Отсюда следует: $
G(k, 0 = -КМГ1ек(*)"к (0)i*0>. (П-14)
Смысл G (к, t) становится очевидным, если поставить вопрос о вероятности
найти в более поздиий момент времени t все еще в том же состоянии
квазичастипу, образовавшуюся в момент времени 1 = 0 в состоянии к.
Волновая функция частицы при t = 0 есть фк (0) = (0) (представление
Шре-
дингера). В момент времени t отсюда получается фк№=ехр[-(i/%) Ht]
с^Фг(0). Поскольку электрон все еще находится в состоянии к, амплитуда
вероятности этого будет <фк (t) I Ф (f)>, где <pk (t) = с^Ф- (t) = ехр [-
(i/%) Ht] V (0). Следовательно, имеем
?(0) ) =
<Фк (*) I Ф №> = уФ- (0) ехр tff j ск ехр (- ± tff j с,
= <ФГ (0) | ск W с? (0) | Ф- (0)> = iG (к, f). (П.15)
Во второй строке в (П.15) мы перешли от представления Шредингера к
представлению Гейзенберга. Таким образом, G(k, t) есть искомая амплитуда
вероятности с точностью до коэффициента 1.
Посредством дальнейшего преобразования относительно времени получаем
-j-oo -
G (к, со) = j G (к, t) ехр (icof) dt = J G (r, t) exp [-г (k-r - cot)]
dxdt, (П.16)
где
+ oo
(7 (1C. flVi РТП <-------------- r?(ri
(П.17)
G (k, t) = -J- i G (k, o>) exp (- icot) dco, J
G (r> 4) = f G (k> (r)) exP t* (k-r - cot)] c?tk dco.
(2n) J
Теперь вычислим G(k, t) и G(k, со) для электронного газа без
взаимодействия и электронного газа с взаимодействием и покажем при этом,
что полюса G(k, со) дают спектр возбуждений и время жизни квазичастиц
рассматриваемой системы. Начнем со случая без взаимодействия.
Оператор Гамильтона в представлении чисел заполнения есть [ср., например,
(ч. I. 11.14)]
Hq = S $kckocko' (П. 18)
кст
где Е= %2kl/2m. Здесь с^а и ck(J- операторы рождения и уничтожения для
фермионов [см. (ч. . I.A.17)]. Спиновые индексы и суммирование по спину
опять будем впредь опускать. 1'
Для вычисления G(k, f) принимаем во внимание, что из коммутационных
соотношений для ск:
ПРИЛОЖЕНИЕ. ФУНКЦИИ ГРИНА
157
следует
G (к, t) = - i(w0 | Г [ехр (± Я" t] ск ехр (_ _L с+] | =
= - i <J0 j Т (Vk+) | Y0> exp(-^kt). (П-19)
следовательно,
G (к, t) = I ехр (- - Ekt
(пк - 1) для t > О, пк для t < о-
(П.20)
Здесь пк означает чиело заполнения состояний. В основном состоянии все пк
= 1 Для А < к-p и = 0 для к >
> Ар (заполненная ферми-сфера).
Из вида G(к, г) следует, что вероятность заполнения состояния к не
зависит от времени. В электронном газе без взаимодействия каждое
заполненное состояние остается заполненным, а каждое свободное -
незаполненным.
Для уяснения смысла G (k, t) при t < 0 важно еще одно замечание. Условие
t < 0 охватывает случай, когда в (П.7) момент времени tj предшествует
моменту времени t2. Тогда <7 (k, t) формально является амплитудой
вероятности для "бегущей в обратном направлении по времени частицы"
системы.
Ранее уже было показано, что дырки внутри ферми-сферы можно рассматри-'
вать как электроны, бегущие в обратном направлении по времени (ср.,
например, ч. II, рис. 57). G(k, t) при t < 0 является, следовательно,
амплитудо вероятности для дырок внутри ферми-сферы. Это наблюдается также
