Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
будет
и (fr")l~ Т2- У(Кп)----• (19-5)
-({k + Kn?-^)
Пока и{Кп) малы, выражение (19.5) дает только малое возмущение волновой
функции, следовательно, и энергии. Однако значения и ю делаются большими,
когда в знаменате/ (19.5) (k+KnY& т. е., по (17.6) вблизи брэгговского
отражения.
Если принять t ={k-\-KpY при заданном Кр, то в (19.4) коэффициенты "(0) и
и (К ) делаются большими и от
(19.4) остаются два уравнения:
k*-Е (ft)) u(0) + V(~КР) и (Кр) = 0,
(19.6)
(~(k + Kpr~E(k))'u(Kp) +
+ V(Kp)u( 0) = 0.
Так как V (- KP) = V* (Кр), то решение относительно Е (й)Гдает
Е =^±\V(Kp)\. (19.7)
То есть во всех точках, удовлетворяющих условиям брэгговского отражения,
энергия расщепляется пропорционально фурье-компо-нентам потенциала,
относящимся к этим точкам. Это означает, Б частности, что En{k)
расщепляется на поверхности зоны Брил-
Рис. 23. Зоны рис. 21, б "сглаженные" влиянием слабого потенциала
решетки.
§ 19] ПРИБЛИЖЕНИЕ почти свободных электронов
87
люэна, т. е. что зоны (по крайней мере частично) разделяются областями
энергий, в которых не лежат никакие состояния.
Это показано на рис. 23 и 24. На рис. 23 изображены те же приведенные
зоны, что и на рис. 21, б. Разница только в том, что в тех местах, где
для свободных электронов зоны соприкасались, появились разрывы, связанные
со снятием вырождения за счет периодического потенциала. Одновременно
сглажены "перегибы" в зонах, и En(k) в этих местах делается плавной
функцией. На рис. 24 изображен разрез зоны Бриллюэна предыдущего рисунка
от центральной точки Г к одному из углов К шестиугольника, вдоль одной из
его сторон до ее средней точки
Рис. 24. Спектр энергий рис. 23 или 21, б (штрихованный) вдоль линий
симметрии зоны Бриллюэна для гексагональной плоской решетки. Обозначения
линий симметрии пояснены на рисунке слева.
М и обратно к Г. Отдельные сегменты парабол являются сечениями различных
параболоидов, центрированных вокруг разных Кт повторяющейся зонной схемы.
Теперь мы нашли характерный ) аспект ^зонной модели-сле-иующие друг за
другом разрешенные и запрещенные участки энергий. Тем не менее форма
зонной структуры, изображенной на рис. 23 и 24, часто отличается от
истинной. Потенциал решетки не является малым возмущением, и зонная
структура реального твердого тела обычно отличается от граничного случая
свободных электронов. В дальнейшем мы изучим относящиеся к этому примеры.
Из-за важности зонной структуры для всех'вопро-сов теории твердого тела,
которые могут рассматриваться в рамках одноэлектронного приближения,
целесообразно сначала изучить общие свойства функции En(k). Этому
посвящены следующие параграфы.
88 ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ [ГЛ. IV
§ 20. Общие свойства функции Епф)1)
Вначале мы покажем непрерывность и дифференцируемость функции Еп (ft) в
зоне Бриллюэна. Одновременно с этим мы получим сведения об общих
свойствах квазичастиц-электронов в кристалле.
Для доказательства непрерывности мы разложим блоховскую функцию tyn(k, г)
в точке ft-f-x, очень близкой к ft. В качестве функций разложения мы
используем полную ортонормированную систему функций г) =
е1'*г'фп (ft, г). Что функции %п
ортонормированы, следует из выражения
(k + x')%n(k-\-y.")dx = 5е<' (ft, фJj"(ft, r)dx =
= ^ е((я"-я')-г и*п, r)un(k, r)dx. (20.1)
Функции un', un периодичны с периодом решетки и потому могут
быть разложены в ряд Фурье. Тогда (20.1) примет вид
(20.1) = ? Atn $ 4*r-"-Kmvrdт = (20.2)
т т
Далее, так как х' и х" малы по сравнению с каждым Кт (тФ 0), то это
значит, что в сумме можно оставить лишь член т - 0,
и так как Л,",л = (1/Уг) ^ и*П'ип&'Кт'г dx, то получим
(20.1) = я- = бх*. я' J dT = б*". я' J =
*=6^6^. (20.3)
Величины следовательно, пригодны как функции разложения: ^Mft-f-x, r)=
'EBnm(k + K)%m(k + y., г) = е''Х''25"А (ft, г).
/7i m
(20.4)
Пусть при этом En(k) не вырождено по ft. Применение оператора Гамильтона
к (20.4) приводит, с одной стороны, к соотношению
+ г)==("ЁЛ+1/(г)) е'*,,2я"1Л,(Л, /¦) =
= е--15ПИ (- ^ Д +F (г) + ^ X. grad + (ft, г) =
= e^^25"m(?m(ft)+^x.grad-f-^)^m(ft, г), (20.5)
!) См. Дополнение V. (Прим. ред.)
§20]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ Е"(к)
89
с другой стороны,
= En(k+ *)*'"-' %Bnmypm(k, г). (20.6)
т
Умножение на e-'x'ri|^' (ft. f) и интегрирование по основной области дает
в правой части уравнений (20.5) и (20.6)
Еп (ft ~Ь >0 В пт' - {^Ет' (ft) 2т^)^п,п'^ ^ ^пт~т ^Рт'т
для всех т'. При этом рт'т есть матричный элемент:
= г) grad (ft, г) dx. (20.8)
Решение этой системы уравнений обычными методами теории возмущений
(разложение в ряд по возрастающим степеням к) приводит тогда к выражению
Граничный переход х->-0 показывает на непрерывность энергии во всех
точках зоны Бриллюэна, где En(k) не вырождено. Он приводит^далее к
выражению
рпп есть диагональный элемент оператора импульса, т. е. ожидаемое
значение импульса электрона с энергией En(k).
Для второй производной от энергии по ft мы находим после граничного
перехода х-+0 из (20.9)
