Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
представляет только направление Кт, то т; определяются с точностью до
произвольного множителя. Если выбрать последний так, чтобы три значения
тi были наименьшими целыми числами, то Кт (при заданном направлении)
будет наиболее короткой примитивной трансляцией для обратной решетки. В
этом случае т,- называют миллеровскими индексами. Кристаллическая
плоскость с миллеровскими индексами {тх, тг, т3), по (17.4), будет
пересекать оси, направленные по а,, а2, .а3, на расстояниях~NnJmx, Nnjm2,
Nti3/m3 (или соответственно на кратных им расстояниях). Отрицательные
миллеров-ские индексы для простоты записываются т; (вместо - т,-).
Кристаллические плоскости перпендикулярные к осям кубического кристалла,
т. е. к осям декартовых координат, имеют индексы (100), (010), (001),
(100), (010), (001). Множество всех симметрично эквивалентных
кристаллических плоскостей обозначается фигурными скобками. Множество
всех эквивалентных кристаллических плоскостей, перпендикулярных
кубическим осям, образует, следовательно, множество {100}.
:'г' Аналогичным образом направления в кристалле обозначаются тремя
индексами. Для этого выбранный^вектор разлагают на^три компоненты вдоль
а,, а(r)'и а8. Три наименьших целых числа,
СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ В РЕШЕТКЕ
79
отношения которых равны отношению компонент, образуют искомые индексы.
Они записываются в квадратных скобках: [hkl]. Во многих кристаллах, но не
всегда, эти индексы совпадают с мил-леровскими индексами плоскостей,
перпендикулярных к этому направлению.
Теперь с помощью рис. 19 мы рассмотрим появление брэгговского отражения.
Пусть волна с направлением распространения к падает сверху слева. Она
будет отражаться от плоскостей кристалла, если разность хода двух
параллельных лучей, отражающихся от соседних плоскостей, составляет целое
число длин волн. Для случая, изображенного на рис. 19, это будет при
2asind = ./VA, (N - целое число). (17.5)
Если заменить в (17.5) sinft на - Km-klKmk, Я на 2n/k, 2nNfa на Кт (а -
расстояние между двумя кристаллическими плоскостями), то
№ = (k + Кт) 2 или также k'=k + Km (17.6)
является условием брэгговского отражения. Электронные волны, для которых
волновой вектор к удовлетворяет этому условию, не могут распространяться
в кристалле. Они будут отражены в другом направлении.
Существует очень простое и для дальнейшего очень важное построение,
которое делает это условие наглядным. Для этого построим обратную решетку
Кт в пространстве вектора k (k-npo-
a sin fr
Рис. [19. ;К'[выводу условий^брэгговского отражения. Сверху слева падает
плоская волна, которая отражается от плоскостей кристалла; направление
нормали к плоскостям-Кт-
Рис. 20. Зона Бриллюэна для гекса тональной плоской решетки.
странстве). Если теперь из"*точки решетки, выбранной в качестве нулевой
точки, провести линии, соединяющие ее со всеми другими Кт, то плоскости,
которые проведены перпендикулярно через середины этих отрезков, будут как
раз удовлетворять условию (17.6).
80
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
[ГЛ. IV
На рис. 20 проведено такое построение для двухмерной гексагональной
плоской решетки рис. 17. Видно, что плоскости брэгговского отражения
лежат все гуще при возрастающем к. Все отражения появляются при значениях
к, лежащих на ограничивающих плоскостях только что определенной зоны
Бриллюэна или дальше.
Области, ограниченные условиями (17.6), также называются зонами
Бриллюэна, хотя и несколько в другом смысле.
Из рис. 20 видно, что шесть треугольников, граничащих с внутренним
шестиугольником, имеют общую площадь, как раз
Рис. 21. а) Параболоид энергий свободных "лектронов (Е ~ кг) над й-пло-
скостью для гексагональной плоской решетки. В согласии с рис. 20
параболоид энергии и ft-плоскость разделены на зоны Бриллюэна или на
части зоны Бриллюэна. б) Приведение параболоида к 1-й зоне Бриллюэна.
равную площади шестиугольника. При надлежащем выборе Кт эти треугольники
могут быть так смещены, что покроют внутренний шестиугольник ("приведены"
к ^1-й] зоне Бриллюэна). Треугольники с вершинами на шестиугольнике опять
имеют равную ему площадь. Для их приведения надо их сначала разделить
перпендикулярно основанию. Полученные при этом двенадцать прямоугольных
треугольников могут опять, при соответственном выборе Кт, быть смещены до
совпадения с внутренним шестиугольником и т. д. Отдельные части плоскости
(в трехмерном пространстве-объемы), которые могут быть приведены к 1-й
зоне Бриллюэна, называются 2, 3, 4, ... зонами Бриллюэна. Для нашего
двухмерного примера это показано на рис. 21.
На рис. 21, а изображена поверхность энергии E=fi? (&*-)-&*)/2m,
разделенная на зоны в соответствии с рис. 20. Эти зоны на рис. 21, б
СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТРАНСЛЯЦИОННОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ
81
приведены к первой зоне Бриллюэна и для наглядности раздвинуты по оси
энергий.
Мы видим, что каждая построенная таким способом зона представляет собой
единое целое, хотя производные ыа внутренних границах могу г испытывать
разрыв. В следующих параграфах мы будем каждую из этих областей
