Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
обсудим (наряду с другими вопросами) в § 21.
После рассмотрения одного-единственного электрона в периодическом
потенциале мы обратимся к проблеме совокупности валентных электронов в
твердом теле. Мы заполним (как для газа свободных электронов в гл. II)
энергетические состояния одноэлектронного приближения всеми валентными
электронами согласно статистике Ферми. Необходимые для этого плотности
состояний 2 (E)dE мы получим в §22. В двух последующих параграфах мы
подробно, на примерах, разъясним зонную структуру в металлах, изоляторах
и полупроводниках.
В дальнейших параграфах проводится более подробное обсуждение зонной
структуры. К этому привлекаются также вспомогательные методы теории
групп. Мы закончим эту главу важным понятием псевдопотенциала.
Эта глава обширнее других глав настоящей книги не только потому, что
одноэлектронное приближение достаточно для описания большой части явлений
в твердых телах. Некоторые параграфы этой главы служат также для введения
и 'усвоения тех методов, которые будут использованы в следующих главах.
Это позволит вести изложение в них короче.
Основы зонной структуры представлены во многих учебниках и монографиях.
Мы рекомендуем, наряду с книгами Брауэра [9], Киттелля [12], Харрисона
[10] и Займана [20], в особенности
72
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
[ГЛ. IV
книги: Бриллюэн, Калавей, Харрисон и Джонс [90-93]. Хорошее изложение
можно найти также в [48, 56, 57.1, 57.13, 60.Х1Х]. Специальная литература
к отдельным вопросам приведена в § 23, 24 и 28. Специальное применение
содержания этой главы к полупроводникам можно найти в [95].
§ 15. Симметрия кристаллических решеток
Кристалл характеризуется регулярной структурой. Его наименьшей
структурной единицей является элементарная ячейка. Идентичные,
примыкающие друг к другу, элементарные ячейки заполняют без промежутков
все пространство и дают основу для периодичности кристаллической решетки.
Эта периодичность приводит к тому, что решетка инвариантна к трансляциям
на отрезки, составляющие произвольное целое число периода решетки. Это
справедливо, конечно, только для идеального бесконечного кристалла или
для кристалла, который с помощью циклических граничных условий (ср. § 5)
искусственно сделан конечным. Этот случай мы рассмотрим в дальнейшем.
Примитивными трансляциями называют операции совпадения, которые
записываются в форме
R = ti1al + о2аа + щаа - (15.1)
при целочисленных я,-. При этом аг - (не компланарные) базисные векторы,
которые связывают какую-нибудь точку решетки, например среднюю точку
элементарной ячейки, с тремя эквивалентными точками.
Совокупность всех /?" охватывает все эквивалентные точки решетки.
Величины Rn образуют точечную решетку кристалла.
Для заданной точечной решетки образующие ее аг могут быть выбраны
неоднозначно. На рис. 16 показаны четыре разных способа выбора обоих а(
на примере квадратной двухмерной точечной решетки. В этих случаях (и
произвольно большом числе других случаев) комбинация обоих векторов а{,
согласно (15.1), позволяет достигнуть любой точки решетки. Целесообразно
выбирать комбинацию наиболее "коротких" векторов, следовательно, на
рисунке - верхнюю слева. Число возможных точечных решеток ограничено. В
двухмерном случае существует пять разных точечных решеток. Они
определяются заданием длины векторов в, и а2 и углом, заключенным между
ними. Легко убедиться, что только возможности, перечисленные ниже,
приводят к различным точечным решеткам: ахфа2, произвольный угол; аг =
а2, произвольный угол; "! Ф аг, прямой угол; ах = а2, прямой угол; а1 =
аг, угол 60°. В^трехмерном пространстве существует четырнадцать различных
точечных решеток.
СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ РЕШЕТОК
73
Параллелепипеды, построенные на а,-, образуют элементарную ячейку
решетки. Восемь вершин параллелепипеда заняты узлами решетки. Каждый узел
принадлежит восьми параллелепипедам. Каждая ячейка, таким образом,
содержит один узел. Ячейки, сконструированные таким способом, в
дальнейшем нам не понадобятся, так как более целесообразным оказывается
другое разделение решетки. Для этого узел решетки располагают в центре
конструируемой элементарной ячейки. Ограничивающие плоскости получаются
следующим образом: узел в центре ячейки соединяют со всеми соседними
атомами и через середины связывающих их отрезков проводят
перпендикулярные к ним плоскости. С помощью такой конструкции, как
отчетливо видно из рис. 17, ограничивают все точки, которые лежат ближе к
данному узлу решетки, чем ко всем другим. Эти сконструированные таким
способом ячейки Вигнера - Зейтца, следовательно, содержат один узел
решетки, и объем их равен объему параллелепипедов, построенных на а{. На
рис. 18 изображены ячейки Вигнера - Зейтца для четырех наиболее важных
точечных решеток.
Ячейки Вигнера - Зейтца отличаются тем свойством, что они инвариантны ко
всем операциям симметрии решетки: ко всем вращениям, зеркальным
отражениям, к инверсии, если средняя точка остается закрепленной и
