Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
непр'имитивные трансляции полностью определяют пространственную группу.
Из 10 точечных групп плоских решеток и 5 типов плоских решеток можно
построить 17 пространственных групп. Из 32 точечных трехмерных групп и 14
типов трехмерных пространственных решеток можно получить 230
пространственных групп. Пространственная группа кристалла зависит от его
трансляционной симметрии и от расположения атомов в ячейке Вигнера -
Зейтца, т. е. от его базиса.
Пространственная группа, которая в качестве подгруппы содержит всю
точечную группу, называется симморфной. Она не содержит непримитивных
трансляций. Каждый ее элемент {ос|а}= = {а может быть разложен на
зеркально-поворотное преобразование {а и примитивную трансляцию
Решетки
реальных кристаллов, базис которых не ограничивает симметрии ячейки
Вигнера - Зейтца, называются решетками Браве. Очевидно, что они
симморфны. Имеется 14 решеток Браве, которые идентичны с вышеупомянутыми
точечными решетками.
§ 16. Уравнение Шредингера для электронов в периодическом потенциале
Вернемся теперь обратно к уравнению (3.20), которое запишем в следующем
виде:
Яг|)(г) = {-^А + У(г)}г|)(г) = ?г|)(г), (16.1)
V (г) содержит усредненный член взаимодействия приближения Хартри -
Фока, т. е. наряду с потенциалом ионов решетки и часть, связанную с
электрон-электронным взаимодействием.
В этом приближении часть потенциала, прочно связанная с ионами решетки в
положении равновесия, очевидно, инвариантна ко всем операциям
пространственной группы. Это справедливо и для члена взаимодействия
приближения Хартри -Фока (теорему Ротанша см,, например, в [9]). Для
свободных электронов это
СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ В РЕШЕТКЕ
77
очевидно: в соответствующем уравнении (11.1) члены взаимодействия вообще
не зависят от г.
Таким образом, предполагаем, что для V (г) в (16.1), а следовательно и
для всего оператора Гамильтона, справедливо
V({"| а} г) = 7(г), Н{{а\а] г) = Н(г). (16.2)
Свойства симметрии оператора Гамильтона уже сами дают нам сведения о
структуре возможных решений (собственных функций и собственных значений в
уравнении (16.1)). В следующих параграфах мы рассмотрим следствия,
вытекающие из трансляционной инвариантности, которые дадут нам основы
зонной модели, и следствия из инвариантности по отношению к другим
операциям симметрии пространственной группы (§ 18, 25).
§ 17. Свободные электроны в кристаллической решетке.
Брэгговское отражение
Для обсуждения влияния симметрии решетки сначала рассмотрим в этом
параграфе невзаимодействующий электронный газ в периодическом потенциале
решетки. Величину этого потенциала примем исчезающе малой. Первоначально
кажется противоречивым принимать потенциал стремящимся к нулю, так как,
казалось бы, его влияние на электрон, как на отрицательно заряженную
частицу, при этом должно быть исчезающе 'малым. Однако надо принять во
внимание, что электроны обладают и волновыми свойствами и что,
следовательно, они должны испытывать брэгговское отражение от регулярно
построенной решетки. Это рассеяние электронных волн зависит только от
направления падающих волн и регулярного расположения атомов в решетке, но
не зависит от величины потенциала решетки. Лучше всего мы можем
рассмотреть влияние симметрии, если принять идеализированный граничный
случай V(г), стремящийся к нулю. К случаю V Ф 0 мы обратимся в § 19.
Для дальнейшего изложения целесообразно ввести понятие обратной решетки.
Под этим подразумевается точечная решетка, построенная на векторах
Кт = тхЪх-\-тгЪг-\-тъЪ%, (17.1)
где --целые числа, векторы bt связаны с векторами а{ уравнения (15.1)
следующим соотношением:
arbj - 2nb[J, t,/=1,2,3. (17.2)
Вектор bt, следовательно, перпендикулярен обоим векторам а;- и ak {i,j,k=
1,2,3 и цикличны). Тогда b; = cajXak и из соотно-
78
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
[ГЛ. IV
шения al-bj - cai-(ajXall) = 2n следует, что
Обе точечные решетки Rn и Кт обратны друг другу.
Каждой точечной решетке с помощью (17.1) и (17.2) сопоставляется обратная
решетка.
Параллелепипеды, построенные на Ь,-, являются элементарными ячейками
обратной решетки. Соответственно строятся вигнер-зейтцевские ячейки
обратной решетки. Они называются зонами Б риллюэна.
Легко убедиться, что зона Бриллюэна кубической решетки с точностью до
масштабного множителя совпадает с ячейкой Вигнера - Зейтца (рис. 18, а).
Тоже справедливо для гексагональной решетки (рис. 18 г). Напротив, вид
зоны Бриллюэна для кубической решетки с центрированными гранями совпадает
с видом вигнер-зейтцезской ячейки для решетки объемноцентриро-ванного
куба, и наоборот (рис. 18, б, в).
Из (15.1), (17.1) и (17.2) следует, что
Rn Km = 2л fam! + п2т2 + п3т3) = 2nJV, (17.4)
где N - целое чист Все Rn, удовлетворяющие этому уравнению, лежат в
кристаллической плоскости с направлением нормали Кт. Каждый вектор Кт
(соответственно его компоненты {т^, тг, ms}) определяет совокупность
кристаллических плоскостей решетки с соответствующими Rn. Так как интерес
