Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
рассматривать как полосу энергии зонной модели.
§ 18. Следствия из трансляционной инвариантности
Прежде чем распространить результаты последнего параграфа на случай
неисчезающе малого потенциала V(г), нужно подробнее исследовать структуру
решений уравнения Шредингера (16.1). Первые важнейшие результаты мы
получаем как следствие требования, чтобы оператор Гамильтона этого
уравнения был инвариантен по отношению к примитивным трансляциям. Для
того чтобы количественно выразить эту инвариантность, сопоставим каждой
примитивной трансляции Rt оператор Т с помощью уравнения
T*tf(r)=f(r + Ri). (18.1)
Оператор Т% действует на функции от г так, что пространственный вектор в
аргументе заменяется на rJrRt.
По (16.2) И инвариантно по отношению ко всем Т/?. Действие оператора Тц
на (16.1) приводит к выражениям
Я(Г*Д) = ?"(7>А)-
Все Т/? г|з" одновременно с г|з" являются собственными функциями для тех
же собственных значений Еп. Если Еп не вырождено, т. е. ему соответствует
только одна собственная функция г|?п, то Тafin должно быть равно г|з" с
точностью до множителя. Так как, далее, | Тц г|з" |2 = | [2, то этот
множитель равен единице:
где |Я<г>|2 -1. (18.3)
(18.3) -уравнение для собственных значений оператора ТТак как
|Яа,|2=1, то можно записать в виде е'"г. Учитывая, что Ri + Rm = Rp и,
следовательно, TRTRn = THp и е!("'+"и) = е''"я, естественно записать at
как скалярное произведение некоторого вектора к, одинакового для всех а,
на вектор Rt, т. е.
А,г = е'*Л (18.4)
82
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
1ГЛ. IV
При этом k еще не определенный вектор в ft-пространстве (пространстве
обратной решетки) и вначале не связан с волновым вектором свободного
электрона.
Если Еп вырождено f-кратно, то f взаимно ортогональных собственных
функций г)з"х относятся к одному и тому же собственному значению Еп.
Тогда функция, которая получается в результате действия Тна г|з"и, может
быть представлена как линейная комбинация всех г)з"х:
f
= 2 ^i|W- (18.5)
Х'=1
С помощью (18.5) каждому оператору Т/? группы трансляций сопоставляется
матрица А,&,. Эти матрицы, очевидно, удовлетворяют тем же правилам
умножения, как и Т# :
i
Тrt TRm = 7Y, - 2 = С" (18.6)
1 Р я' = 1
Элементы ЯКК", следовательно, также образуют группу, которую называют /-
мерным представлением группы трансляций ца базисе функций ijw
Вместо / собственных функций г)з"х можно с помощью линейных комбинаций
построить новый набор из / ортогональных собственных функций, который
образует базис для эквивалентного представления. Пользуясь теорией групп,
можно показать, что среди всех эквивалентных представлений абелевой
группы, как это имеет место для группы трансляций, всегда можно найти
представление, матрица которого будет диагональна:
Л& = Л&6**; (18.7)
тогда уравнение (18.5) будет иметь вид
То tynx. - 2 -^-nx'^nx' = 2 Л-хх&хх'Чрпх' - Л^хфган- (18.8)
1 х' х'
В согласии с уравнением (18.3) следует, что |Л#&|2 = 1 и, следовательно,
ЛЙ: = etft>{'/?*. Для каждого значения i|j, таким образом, всегда имеется
некоторое значение k, так что i|j, как собственная функция
трансляционного оператора, принадлежит собственному значению е1*'^- Таким
образом, классифицируется этим k: i|)= =i|)(?, г). Оба уравнения вместе,
(18.3) и (18.8), мы назовем теоремой Блоха.
; Невырожденные решения уравнения Шредингера и выбранные надлежащим
образом линейные комбинации вырожденных решений одновременно являются
собственными функциями tyn(k, г) транс-
§ 18] СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТРАНСЛЯЦИОННОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ 83
ляционных операторов Тс собственным значением elk'Rt:
7Ч<Ы*. r) = e,ft 4"(*. г). (18.9)
Так как ^n{k, г) одновременно являются собственными функциями оператора
Гамильтона, то собственные значения Еп тоже зависят от k'.
Е"=Еа(Ь). (18.10)
При этом для вырожденных Е" значения Еп (kH) = Еп [kK').4 Из теоремы
Блоха следует:
ф"(*. г + Л,) = ей-Ч"(Л. г). (18.11)
Если соотношение
¦фя(Л, r) = ek-run{k, г) (18.12)
подставить в уравнение (18.11), то для левой части получим &lk'(r+Ri)
un(k, r + Ri) и для правой части - etk'(r+Ri) ип(k, г); тогда
un(k, r + Rt) = un(k, г), (18.13)
т. е. ип имеет период решетки. Собственные функции (Af, г), записанные в
виде (18.12), называются блоховскими функциями. Описываемые ими электроны
в кристалле соответственно называются блоховскими электронами. Форма
собственных функций дает первые указания на физический смысл k. Если
положить M=const, то ф = се?*,г. В этом случае'электрон ведет себя как
свободная частица и может быть представлен плоской волной, где k -
волновой вектор. При переходе к плоской волне наше k, следовательно,
приобретает смысл волнового вектора. Если это представление перенести на
кристалл, то (18.12) будет соответствовать утверждению, что электрон в
кристалле может быть представлен в виде плоской волны, модулированной с
периодом решетки.
Прежде чем развивать дальше эту интерпретацию, сделаем еще некоторые
выводы из теоремы Блоха.
Согласно § 17 рассмотрим обратную решетку^ДГ^'в пространстве вектора k (в
