Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
l=^vxB + eE + ^A.
Для слабых магнитных полей можно пренебречь последним членом правой части
(21.3) и получить
Trf = (1 -jr (Я + е• /?) dt') Т^п = (...)е".-ф" = е№-%, (21.5)
где
%k = hk0 - Z,dt, или Kk = - Z,. (21-6)
Пренебрежем различием между ^-пространством и (k -j- (е/%с) А)-
пространством, как в § 8 между ^-пространством и Р/^-простран-ством;
тогда получим, как и в (8.8),
%k = -(eE+^vxB}. (21.7)
В рамках приближения слабых магнитных полей (и для произвольных
электрических полей!) блоховский электрон во времени
*) См. Дополнение VI. (Прим. ред.)
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОНОВ В КРИСТАЛЛЕ
93
пробегает блоховские состояния, причем изменение во времени вектора ft
(точнее, вектора (ft + (efhc) А) пропорционально лорент-цевой силе.
Мы можем, следовательно, использовать теперь все результаты, которые были
получены в этом полуклассическом приближении для свободных электронов.
При ускорении электрона под действием внешних полей вектор к в ft-
пространстве пробегает квази-непрерывный ряд значений. При одном
магнитном поле ft-вектор остается на поверхности постоянной энергии. Из-
за сложности энергетических поверхностей зонной структуры в зоне
Бриллюэна, эти "пути" ft-вектора не являются окружностями. Из-за этого и
пути электрона в геометрическом пространстве достаточно сложны. Мы
вернемся к этому в § 23.
В последнем параграфе мы ввели понятие эффективной массы и показали, что
замена массы электрона тензором эффективной массы как раз учитывает
влияние решетки. Это утверждение мы хотим теперь доказать в рамках
динамики электрона. Положим, что задана зонная структура En(k) какого-
либо твердого тела. Эта функция периодична в ft-пространстве и,
следовательно, может быть разложена в ряд Фурье:
?"(*) = 21 (21.8)
т
Если мы формально построим оператор Еп{-igrad), заменив все ft в En(k) на
- tgrad, то для него мы найдем следующие свойства:
Еп (- i grad) (ft, г) = X ?""e*"-*radi|>II (*. г) =
т
= 2 Епш (1 + (Яя • grad) + Y (Я" • §rad)2 + • • •) Уп Ф, г) =
т
= 2?'"Л(*. г + Ят) = ^Е"те*"'-^п(к, г) = Еп(к)^п{к, г).
т гп
(21.9)
Блоховские функции г]зга (к, г) являются собственными функциями оператора
Еп (- i grad) с собственными значениями Еп (ft).
Рассмотрим теперь уравнение Шредингера, зависящее от времени:
(-ША + У1г) + еЕ'г)'i>=-f <21Л°)
При этом мы для простоты ограничиваемся случаем постоянного
электрического поля. Электрон, описанный этим уравнением, мы представим в
виде волнового пакета, который построен из всех
94
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
[ГЛ. IV
блоховских состояний зонной модели:
= ОЫ*" г). l(2 1.11)
Тогда получим
^c(k,"t)( - ^A + V(r) + eE-r)^n(k, r) = --y-f=
П, fi 4 *
= ?c(k, t)(Ett(k) + eE-r)^tt(k, г) -
П, fi
= ^с(к, t)(En(-i grad)+ eEr)tyn(k, r). (21.12)
П> k
Это уравнение можно дальше преобразовать, если ввести ограничивающее
предположение, что электрическое поле не достаточно сильно для того,
чтобы вызвать переходы из одной зоны в другую. Следовательно, электрон
остается все время в одной зоне (индекс п). Пусть, кроме того, эта зона
не вырождена. Тогда волновой пакет достаточно построить из состояний
выбранной зоны и в (21.11) и
(21.12) производить суммирование только по всем k в п-й зоне. В
последнем выражении (21.12) скобка не содержит k и, следовательно, может
быть вынесена за знак суммы. Тогда
(?"(- tgrad)+e?-r)2c(ft, t)^n{k, r) =
k
= (?"(-- i grad) + e?- r) \j> = -\jj. (21.13)
Мы получили новое уравнение Шредингера, которое отличается от (21.10)
тем, что в него уже не входит в явном виде периодический потенциал V (г).
Для этого введен новый эквивалентный оператор Гамильтона вместо оператора
кинетической энергии для свободных электронов. Это уравнение точно
указывает на свойства квазичастицы -электрона в кристалле. Периодический
потенциал включен в свойства электрона. Волновой пакет электрона ведет
себя в электрическом поле как свободная частица с зарядом -е и с
дисперсионным соотношением Еа(к) между энергией и волновым вектором.
Соотношение En(k) заменило теперь выражение E~K2k2l2m для свободных
электронов, а вторая производная функции En(k) (см. (20.11)) заменила
обратную массу свободного электрона.
При выводе (21.13) мы ограничились случаем постоянного электрического
поля. Соответственное выражение получается и для более общего случая -
присутствия электрического и магнитного полей. Однако по-прежнему
предпосылкой остается, наряду с отсутствием межзонных переходов, и
ограничение слабыми магнит-
.*¦21]
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОНОВ В КРИСТАЛЛЕ
95
ными полями. При возрастании магнитного поля, как и в случае свободных
электронов, будет происходить расщепление зонной структуры на "магнитные
подуровни". Однако получающиеся в этом случае соотношения настолько
сложны, что мы не хотим здесь на них останавливаться. Мы еще вернемся к
этому в § 23.
Знание функции зонной структуры оказывается, таким образом, достаточным
для вычисления движения электрона в кристалле под действием внешних сил.
Для теории всех процессов взаимодействия, которые испытывает электрон в
