Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
ft-пространстве). По (17.4) Km-Rt есть целое кратное от 2я. Применение
оператора Тц к функции i|)(k + Km, г) дает тогда
TRl<t>(k + Km, r) = ei{*+tCm)-Ri<p(k + Km, r) =
= <tib*^{k + Km, г). (18.14)
84
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
[ГЛ. IV
Таким образом, операция Тц сопоставляет одному значению не одно к, а все
к' - k-\- Кт. Все эти точки эквивалентны в ft-пространстве:
Ф"(Л, r) = ^n{k + Km, г).
(18.15)
Результат (18.15) можно интерпретировать следующим образом.
Для классификации решений уравнения Шредингера по вектору к достаточно
рассмотреть значения к в 1-й зоне Бриллюэна.
Соответственно функция En(k) ограничена 1-й зоной Бриллюэна (рис. 22,а).
Это представление Еп(к) в ^-пространстве называют приведенной зонной
схемой. Тогда для каждого вектора к в зоне Бриллюэна Еп(к) дает
дискретный спектр энергий (я = 1, 2, 3, ...). Для постоянного значения п
Еп (к) внутри зоны Бриллюэна есть непрерывная и (кро-
1.3она Бриллюэна \J
А \/
а)
!.
V
AAAAAl
\/v\/v\y
v
Зона
Бриллюэна
ме точек вырождения) дифференцируемая функция от к. Ее называют зоной
энергии. Совокупность всех зон энергий, т. е. сами функции Зона (?)>
соответственно называются
R зонной структурой. Доказательство
ршюз Т0Г0) чт0 в зоне Бриллюэна Еп (к) непрерывна и дифференцируема, мы
отложим до § 20.
Из-за эквивалентности к со всеми k-\-Km мы можем рассматривать энергию Е"
(к) тоже как периодическую (и из-за индекса п многозначную) функцию в ^-
пространстве. Объемы периодичности в форме зон Бриллюэна примыкают друг к
другу (рис. 22,6). Этот способ представления называется повторяющейся
зонной схемой. Наконец, мы можем, исходя из повторяющейся зонной схемы,
сделать En(k) однозначной, разделив ^-пространство на 1, 2, 3, ... зоны
Бриллюэна, как это описывалось в § 16, и в т-й зоне соответственно
рассматривать только часть Ет (к). Это- расширенная зонная схема (рис.
22, в).
В дальнейших параграфах мы будем часто пользоваться этими тремя
возможностями представлений зонной структуры.
5)
5. 4.3. 2. 1. 2.3.4. 5. V/ У V у у
у\/\л/\/\
\/s/v\/\/
в)
Рис. 22. Различные возможности представления зонной структуры в ft-
пространстве на примере простой одномерной зонной структуры: а)
приведенная зонная схема, б) повторяющаяся зонная схема, в) расширенная
зонная схема.
§ 19] ПРИБЛИЖЕНИЕ ПОЧТИ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
85
§ 19. Приближение почти свободных электронов
В последнем параграфе мы видели, что оба представления функции Е (k) -
%2№/2т для свободных электронов в кристаллической решетке, изображенные
на рис. 21, представляют собой две возможные схемы, которые описывают
одну и ту же физическую картину. На рис. 21, а используется неприведенный
k-век-тор и, следовательно, энергия представлена в расширенной зонной
схеме. На рис. 21,6 каждый fe-вектор рис. 21, а так укорочен с помощью
соответственно выбранного Кт, что они ложатся в 1-ю зону Бриллюэна. Это
представление приведенной зонной схемы с приведенным k-вектором. Наряду с
этим имеется возможность представления повторяющейся зонной схемы, в
которой все точки k -)- Кт в ^-пространстве рассматриваются как физически
эквивалентные. Рис. 21 в этой схеме дополняется тем, что в каждой точке
Кт (а не только в Кт = 0) строится параболоид энергий. Эти параболоиды
пересекаются как раз там, где наступает брэгговское отражение. Части
поверхностей параболоидов, попадающие в 1-ю зону Бриллюэна, образуют
поверхности приведенной зонной схемы.
Во всех тех местах, где пересекаются параболоиды, т. е. где имеет место
брэгговское отражение, En(k) для свободных электронов вырождено.
Теперь мы посмотрим, расщепляются ли эти вырожденные уровни энергии под
действием возмущения. Возмущением в этом случае является конечный
потенциал решетки V(г). При такой постановке вопроса достаточно
рассматривать случай малого возмущения и тогда применить обычные методы
теории возмущений.
V (г) есть периодическая функция с периодом решетки. Мы можем ее
разложить в ряд Фурье следующим образом:
V(r)= 2 V(Km)e^-r. (19.1)
т(ф 0)
Член с т = 0 есть среднее значение потенциала, и мы полагаем его равным
нулю. Соответственно периодическую по решетке 'часть блоховской функции и
(k, г) мы разлагаем в ряд Фурье:
Ч>(*. r) = -^=rel,>'Yiu(I<m)eiKm-r; (19.2)
' Vg т
здесь член с т = 0 представляет собой невозмущенную плоскую волну. До тех
пор пока потенциал мал, остальные члены разложения являются только малыми
возмущениями. Поэтому мы полагаем (сначала!), что и м(0)" 1, а все
остальные и(Кт) малы по сравнению с и (0).
86 ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ [ГЛ. IV
Если теперь подставить (19.1) и (19.2) в уравнение Шредингера (16.1), то
получим
у=- S '(* ¦+ KmY - Е (k)+ Y.V(Kt)eiK' rу (Кт) е' <*+*">¦ - = 0.
(19.3)
Умножение на (l/l^F?) e"t'(ft+/f") r и интегрирование по основной области
из-за (1/F?) jj ёК гйх = Ьк, о дает
(Ё & + *">* -Е(Ъ) и (Кп) + ^v(Kn - Km)u(KJ = 0. (19.4)
т
В первом приближении положим E{k) равным невозмущенному решению п?№/2т и
из суммы возьмем только член с "(0). Тогда
