Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
решетка остается инвариантной. В реальном кристалле симметрия ячейки
Вигнера -Зейтца не должна сохраняться. Расположение атомов внутри вигнер-
зейтцев-ской ячейки - базис - может ограничивать эту симметрию. Все
оперягщи симметрии, к которым инвариантен идеальный бргкпнрц-ный
кристалл, объединены в пространственные группы. Пространственная группа
содержит, наряду с примитивными трансляциями (15.1), вращения, отражения,
зеркально-поворотные преобразования вокруг заданных узлов решетки и осей,
инверсии, далее винтовые оси и плоскости скольжения. Последние операции
симметрии являются комбинацией зеркально-поворотного преобразова-
Рис. 16. Возможные определения обоих базисных векторов в квадратной
точечной решетке.
Рис. 17. Вигнер-зейтцевские ячейки гексагональной точечной решетки.
74 ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ [ГЛ. IV
ния и (непримитивных) трансляций, которые сами по себе не сохраняют
инвариантности решетки.
Все эти операции симметрии могут быть записаны посредством ортогонального
преобразования типа
г' =ar + as={a\a}r, (15.2)
где а обозначает отражение при вращении и а - трансляцию. При
символическом способе написания примитивные трансляции в правой части
(15.2) будут записаны в виде {Е |/?"} (где Е - единичная
Рис. 18. Вигиер-зейтцевские ячейки: а-простого куба, б-куба с
центрированными гранями, в-центрированного куба, г-гексагональной
точечной
решетки.
операция, "вращение" на нуль градусов). Зеркально-поворотное
преобразование без трансляций - {а \о\. Винтовые операции и
преобразование скольжения - соответственно {а | а}, где а ф Rn.
•Элементы пространственной группы образуют группу в математическом
смысле. В дальнейшем мы часто будем возвращаться к групповым
представлениям, поэтому дадим здесь краткие определения 1).
Группой называют (конечное или бесконечное) множество элементов, которые
удовлетворяют следующим аксиомам:
1) Подробное обсуждение вспомогательных методов теории групп в физике
твердого тела проведено в Приложении Б.
§15]
СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ РЕШЕТОК
75
1. Существует такое соответствие, что двум элементам А и В может быть
сопоставлен элемент С этой же группы: АВ = С. При этом в общем случае
АВфВА.
2. Существует сочетательный закон А {ВС) = (АВ) С.
3. Существует единичный элемент Е такой, что АЕ = А.
4. К каждому элементу группы А существует обратный эле-
мент Л-1 такой, что АА_1 = Е.
Операции пространственной группы, очевидно, удовлетворяют этим групповым
аксиомам.
Единичный элемент есть {Е | О}. Для обратного элемента и произведения
двух элементов из преобразования (15.2), далее, следует:
= - а~га\, (15.3)
{а|а}{Р|6} = {сф|а6 + а}. (15.4)
Все примитивные трансляции {?!/?"} составляют группу из самих себя; это
означает, что они удовлетворяют групповым аксиомам. Трансляционная группа
{E\Rn\ является подгруппой"пространственной группы. Результат двух
трансляций не зависит от их последовательноеги, результат двух вращений
может, в зависимости от последовательности, привести к различным итогам.
Таким образом, трансляционная группа коммутативна (абелева),
пространственная группа в общем случае не коммутативна.
Для бесконечного кристалла число элементов трансляционной группы
бесконечно. Если ограничить кристалл основной областью с циклическими
граничными условиями, то трансляционная группа делается конечной и
содержит такое число трансляций, сколько в основной области ячеек Вигнера
- Зейтца. В дальнейшем мы ограничимся эгим случаем.
Множество всех зеркально-поворотных преобразований а пространственной
группы также образует группу, точечную группу кристалла. Она не
обязательно является подгруппой пространственной группы, так как в
пространственной группе а могут проявляться только связанными с
непримитивными трансляциями. Несмотря на это, точечная группа имеет
решающее значение: операции точечной группы сохраняют инвариантность
точечной решетки (и, следовательно, вигнер-зейтцевской ячейки). Это
значит, что, наряду cR", и все aR" - тоже примитивные трансляции. Это
сразу же вытекает из первой аксиомы, по которой произведение элементов
группы также должно быть элементом группы, т. е. и
{"| а) {Е | Rn) {а | а}"1 = {Е | aRn}. (15.5)
Требование, чтобы кристалл оставался инвариантным при операциях точечной
группы соответствующей точечной решетки и, следовательно, вигнер-
зейтцевской ячейки, означает, что она яв-
76
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
[ГЛ. IV
ляется группой или, по крайней мере, подгруппой группы симметрии точечной
решетки. Этим ограничивается число возможных точечных групп. Имеется
десять двухмерных точечных групп, а именно: одна без элементов симметрии,
далее соответственно по одной с 2-, 3-, 4- и 6-кратной осью вращения и
дальше пять с соответственной добавкой зеркальной оси. В трехмерном
случае существует 32 точечные группы, которые определяют кристаллические
классы.
Каждая точечная группа может быть связана с точечной решеткой. Точечная
группа, точечная решетка и связанные с элементами точечной группы
