Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
функции (2). Функциями (3), которые порождаются таким образом, не
исчерпывается, конечно, весь класс тензорных функций. Так, например,
линейная тензорная" функция F,'(Q) = 4М--Q, где 4М- изотропный тензор 4-
го ранга, не
*) Эти формулы можно получить из представления [^(Х)]-1 разложением на
простейшие дроби
и сравнением коэффициентов разложений левой и правой частей этого
равенства по степеням X-1.
F (Q) - ф0Е -f- ф40 -f- фгО2 с коэффициентами, зависящими от инвариантов
Ik(Q)
Фг=Фг(Д^). MQ). 1 з (Q)) (Г = 0, 1, 2).
(8)
(7)
приведем (2) к виду
F (X) = Фо + ФгХ -L фгХ2,
(10)
ф0. ф1- ф2
F (Х.г) = ф" + ФА-! ф2Х52 (s = 1, 2, 3).
(П)
Их решения при обозначениях (1.9.8) представимы в виде
з
з
з
(12)
з
460
ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
представима в виде (2), если Q - несимметричный тензор. Однако, если
ограничиться классом изотропных функций от симметричных тензоров, то
представление (7) останется справедливым. Имеет место теорема: всякая
изотропная функция D = F (Q) от симметричного тензора (Q = QT) допускает
представление вида (7).
Доказательство*). Очевидным является утверждение, что любой инвариант D
одновременно является инвариантом Q. Действительно, скалярная функция
тензора называется инвариантом этого тензора, если справедливо
соотношение
J (D) = / (0T-D-0), VO: 0Т-0 = Е. (13)
Обозначим инвариант F (Q) через J [F (Q)]; можно написать 7[F(Q)] =
/i(Q).
Докажем, что если J инвариант F, то 7, инвариант Q. Согласно (13) и (1)
имеем
J [F (Q)] ^ J1 (Q) = / [От- F (Q)-O] = J[F (0T-Q-0)] = (0T-Q.O),
откуда вытекает, что Jj - инвариант Q.
Убедимся теперь, что область значений изотропных функций симметричных
тензоров есть множество симметричных тензоров. Для этого введем
в рассмотрение группу симметрии тензора Q, которую обозначим через 0Q
Последняя определяется как множество ортогональных решений уравнения
0TQ0 = Q, Q = QT. (14)
Для симметричных тензоров группа 0Q всегда содержит подгруппу Oq
з
°Q= 2 е*е*е*' = (!5>
k- 1
где ек-собственные векторы Q, tk-ts=^bks. Если собственные числа Q все
различны, то Oq совпадает с Oq. Обозначим через 0D группу симметрии
D=F(Q). Докажем, что 0D содержит 0Q. Действительно, пусть 0?0q. Тогда,
согласно (1) и (14), имеем
0T-D-0 = F(0T Q.0) = F(Q) = D, О ? Oq.
Отсюда вытекает, что О ? 0Q принадлежит 0D, следовательно, Oq есть
подгруппа 0D
Представим D в базисе главных осей Q
з
°= 2 Dks^s
k, s = 1
и потребуем, чтобы тензоры Oq принадлежали группе симметрии D. Тогда
получим
з з
2 D^skesekes= 2 Dks^s-к, s= I s, k= 1
Отсюда вытекают равенства
Dkse,kzs = Dks (не суммировать по к и s).
*) Принадлежит П. А. Жилину.
§7]
ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ ТЕНЗОРНОГО АРГУМЕНТА
461
Выбирая числа ek так, чтобы в;,е6. =-1 (k Ф s), получаем Dks = 0 (k Ф s).
Указанный выбор чисел e/f всегда существует: действительно, выбирая из
множества тензоров (15) такой, у которого е," (т-фиксированное число из
интервала 1, 2, 3) равно 1, а остальные 6* = - 1, получаем Dms = 0 (s Ф
т). Меняя теперь т, т. е. переходя к другим тензорам из (15), получаем
требуемое свойство. Таким образом, для D получили следующее
представление:
з
D=2dfte*eft, dft = D**, D = DT. (16)
k=\
Из этого равенства видно, что главные оси Q одновременно являются
главными осями D, а коэффициенты dk являются собственными числами D и,
следовательно, его инвариантами. По доказанному выше они представляют
собой и инварианты тензора Q. Отметим теперь следующее важное свойство
собственных чисел dk. Если два каких-либо собственных числа тензора Q
совпадают, то совпадают и соответствующие собственные числа тензора D.
Действительно, пусть собственные числа Q, скажем, qx и q2, совпадают.
Тогда к группе симметрии принадлежит, например, ортогональный тензор
0 = е1е8+ е2ег-Ье3е3, 0?Oq.
Значит, этот тензор принадлежит и к группе симметрии D, что возможно
тогда и только тогда, когда аД - d2. Немного расширяя это рассуждение,
убеждаемся, что число различных собственных значений D не превосходит
числа различных собственных значений Q. Теперь теорема становится
очевидной. Для ее доказательства достаточно выразить диады е/ге/,. через
сам тензор Q. Чтобы добиться этого, выпишем систему уравнений
зз з
E=y>fte" Q='S'?ftefteft. Q2= ^ qhkek- (17)
/г=1 к = 1 k=\
Решение этой системы относительно диад efte/j единственно, если числа qк
все различны. Каждая из диад будет иметь вид
е;геЛ = Ф',г,Е + ф^ Q + фг^О2, (18)
где скалярные функции ф* ) являются инвариантами Q. Подставляя (18) в
(16) и учитывая, что dk также инварианты Q, получаем доказательство
теоремы в случае различных собственных значений тензора Q.; Если среди
собственных значений Q есть равные, например, qi = q2, то следует учесть,
что в систему (17) входят только два неизвестных тензора, а именно,
тензор е^Д-е2е2 и диада е3е3. Отбрасывая любое уравнение из системы (17),
за исключением первого, получаем систему из двух уравнений относительно
такого же числа неизвестных тензоров. По доказанному выше свойству
