Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лурье А.И. -> "Нелинейная теория упругости" -> 130

Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости — М.: Наука, 1980. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugosti1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 158 >> Следующая

соотношением в первом случае, тремя и девятью-во втором и третьем (три
компоненты cs, девять pst в избранном базисе Гу)
Ф (а) = mkak, ф (Q) = mstqis, (la)
cs (eL) = ms1af, cs(Q) = mstrqrt, (16)
Pst (a) = mstrar, pst (Q) = mstrnnqnm. (1b)
По определению после перехода к новому базису Гу скаляр ф остается
неизменным, a cs, pSf должны преобразовываться, как компоненты вектора и
соответственно тензора второго ранга. Тогда mt,, mSf, mstr, mSfmrl должны
быть компонентами в базисе Гу вектора гп. тензора второго М, третьего ГМ
и четвертого 4М рангов
Ф = ш-а, ф--M-.Q, (2а)
с = Ма, с = 3М ¦ • Q, (26)
Р = 3М-а, P = 4M.Q. (2в)
Доказательство основывается на правилах (1.7.2), (1.7.3). Например, для
второго соотношения
qts - qtimft -гнг5 • тт, q> = mstqts --=qnmri-rnrs-'rmmsi.
Определив величины ттп формулами преобразования компонент тензора
mm" = mstTm-T4n-Tt,
получаем, как и требуется
ф = ^"/пж" = М..О.
Аналогично проверяются остальные записи.
Примерами линейных функций над тензором служат
Ф (Q) = Е• - Q= /, (Q), P(Q)=C,..Q = E/1(Q),
P(Q) = Cn--Q = QT, P(Q) = Cnl-Q = Q W
- тензору 4M приданы значения изотропных тензоров С*.
Свертка изотропного тензора - е с вектором ш определяет по (1.14.9)
крсосимметричный тензор, а двукратная свертка с тензором второго ранга -
вектор 2(0 по (1.14.17).
Квадратичная форма компонент Q-скаляр, определяемый формулой (2а), в
которой вместо М взята линейная функция от Q, т. е. Р [см. (2в)]. Имеем
ф(Р(Ц))--=ф(4М..0)= (4M..Q)..Q = rn"<n'nqmnqkl. (4)
Заданием этой формы тензор 4М определен при переставимости пар (Ik), (пт)
milium = mnmlh (5)
- подобно этому по заданию квадратичной формы qstasat определяется только
симметричная часть тензора Q.
При Q=QT
psi-= msimnqnm, mstmn = mstnm,
448
ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
а при Р = РТ
pSt-_=pis = ms\mnqnmy mstwn - jfltsmri'
Если симметричны оба тензора
Q = QT, P(Q) = [P(Q)]T,
то тензор 4М симметричен по индексам в каждой паре
mstrnn = m1smn = mstnrn щ
и число его компонент снижается от 81 до 36, а при преобразовании (5) до
21.
В линейной теории упругости роль тензоров Р и Q отведена
тензору напряжений Т и линейному тензору деформации е,
4М - тензор упругих модулей.
'обозначаемый 4С
Т = 4С- - е (7)
и поскольку Т, е-симметричные тензоры, число упругих модулей равно 36
("упругость по Коши"), Квадратичной формой (4) определяется удвоенная
потенциальная энергия в единице объема
21Г = Т--е = (4С--е)--е. (8)
Существование ее, обусловленное выполнением соотношений (5),
d2W d2W
др -cstmn-z а - Cmnsi' Ы)
vtsf иьтп иьтп Ubst
доводит число модулей до 21 ("упругость по Грину").
§ 2. Скалярная функция тензорного аргумента. Производная скаляра по
тензору
Функция компонент qst тензора Q, заданных в 1убазисе
ф = ф(?п. <?22> • • •• ?31). (О
представляет скаляр ("скалярнозначна"), если ей приписывается
одно и то же
числовое значение в любой координатной системе
ф(9и, 922, q^)=7p(q^, ?22......?31). (2)
Например, скалярнозначна функция
Ф = а-СНЬ.
Непосредственно проверяется, если вернуться к исходному базису, что ср- ф
9 = a-Q-b = a-rir's-Q-Hr<-b = asbtqst = ambnqmn, (3)
как и требуется.
Принятое в анализе определение производной
/'(*) = lim i-[/(x + A) - f(x)] (4)
h ->- о A
необобщаемо иа функцию тензорного аргумента. Следует исходить из
определения производной, как множителя при линейном относительно вариации
6-'-' независимого переменного приращения (вариации) бf функции /
6/ = /(х+6х)-/(*) = /' (х) 6х. (5)
Вариация скаляра (1)
6ф (<7n, q22, ..., 933) =^-bqst (6)
dqst
S3]
ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ СКАЛЯРА
449
представима в форме двукратной свертки тензоров
?QT;=r/"r" б9""'> ~;<V' --=Фо--бО'г = 6ф
oqsl aqsl
и естественно, сославшись на (5), назвать ф" производной ф по тензору Q;
по (1.1а) и (1.2а) величина (pQ - тензор второго ранга
= 8ф = Фо--бОт- (7)
Дифференцирование в (6) приводится по всем (девяти) компонентам тензора
Q. Для симметричного тензора во избежание ошибки следует заменить
ср (<?"*") = ф (^(qmn+qnm)
н после дифференцирования по каждой из девяти компонент принять qmn =
q"m. Получим
q = qt: Фа = у^7{(Г^+г^), (8)
откуда следует, что производная скаляра по симметричному тензору -
симмет-
ричный тензор
Q = QT; (cpQ)T = <pQ. (9)
Формальные правила дифференцирования суммы и произведения переносятся на
операцию дифференцирования скаляра по тензору. Например,
6фФ - - фбф-j- фбф - (Фф0 + фф0) • • 6QT, (фф)а = ффд+фф0. (Ю)
§ 3. Формулы дифференцирования скаляра
Приводимые здесь формулы найдут многократные применения в основном
тексте. Их вывод основан на инвариантном представлении (7) вариации 8ф.
1. Производные инвариантов тензора. Первый инвариант /, (Q)-линейная
функция Q. По его определению (1.7.4) имеем
б/i (Q) = /t (Q+8Q)-/,(Q) = E ••(<} +8Q)-E.-Q=E--SQ = E.-8QT, так что
h (Q)" = E.
Далее, вспомнив правила свертывания (1.7.16), (1.7.17), получаем
6/i(Q2)=/i((Q + 6Q).(Q+6Q))-/1(Q2)-=/1(Q.6Q+6Q-Q) =
= E..Q.8Q+E.-6Q-Q = Q.-8Q-LQ- .8Q = 2Qr- 6QT,
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed