Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лурье А.И. -> "Нелинейная теория упругости" -> 129

Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости — М.: Наука, 1980. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugosti1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 158 >> Следующая

gsk = rsrk = r's-0-0'T-rii = r's-rk = g'sk.
Отличных от Я.Е изотропных тензоров второго ранга нет.
Тензоры высшего ранга, представляемые через тензор Е, изотропны. Таков,
согласно (14.8). тензор третьего ранга Леви-Чивита е; Хе-единственный
изотропный тензор третьего ранга *).
Тензорами четвертого ранга, образуемыми по Е, является тензор ЕЕ и по
(14.15) тензор Си-Сщ. Но и каждый по отдельности тензор Сц, Сщ изотропен.
Действительно, по (8.5), (8.8)
VrS = Vs ' ОктТкТ'п = 0Sm Хт, rs = • ОтТтТп = ofrn.
*) Компоненты е меняют знак при несобственно ортогональном
преобразовании. Такие тензоры (нечетного ранга) называют демитропными.
§15]
ИЗОТРОПНЫЕ ТЕНЗОРЫ
445
так что
r'^Ers = osmosn гиЕг" = ЬтГт Er" = rmErm Сш.
Для трех изотропных тензоров четвертого ранга
C1 = EE = ririrfers, C,i=r5rferVs Сп, = г^Ег^ = г^гМ (1)
возможны эквивалентные записи. В каждой из диад r^ri, г*г* тензора С[
допустима замена верхнего индекса нижним, нижнего верхним, тензор
остается равным ЕЕ. В Сц переставимы диады г^, г5г*. Их можно записать и
в видах rsrk, r^r;;. В Сш переставимы первый вектор с четвертым, второй с
третьим. Например,
Сц =rsrAr*rft = gigr'7r*gi"'r"!r* = &(tm)rVrkrmrk = r9rkTqrk
и т. д. Изомером тензора называют тензор, получающийся из данного при
перестановках индексов базисных векторов. Например, QT - изомер Q,
изомерами тензора саьсгагьтс является тензор саЬсгсгать и т. д.
Существует п! изомеров тензора n-го ранга, их число уменьшается при
наличии симметрий структуры тензора. Так из общего числа 24 изомеров
изотропного тензора четвертого ранга несводимы друг к другу только три
тензора (1).
Общее выражение изотропного тензора четвертого ранга поэтому записывается
в виде
4С = ХЕЕ~1- ц (Сц - CinH-v (Сщ-f Сп). (2)
(3)
Двукратные свертывания с тензором второго ранга приводят к тензорам С] •
*Q = EJ1 (Q) = Q--С], Сц •-Q = Q--Сц = QT, Сщ--Q = Q--Сщ =Q. (4)
Поэтому двукратное свертывание с (Сц + Сщ) выделяет симметричную, а
с (Сщ-Сц) - кососимметричную часть Q. Приходим к соотношению
Двукратное свертывание Св- •Ci (К, L = 1,
одному из этих же изотропных тензоров, как :
с, Сц СШ
Ci зсх Ci Ci
Сц Cl Сщ Сц
Сш Ci Сц сш
^с1+2-МсП + сш) +у v (сШ"сл)
•Q = ^E/1(Q) + jxS + vfl. (5)
На правилах (7.16) основываются соотношения (А, В-тензоры второго ранга)
(С,--А)-В = /1(А)В, Сц •А-В = Е/х (А-В), (6)
(СП--А).В = АТ.В, СП--А-В = ВТ-АТ, (7)
(Сщ"А)-В = А-В, СШ--А-В=А-В. (8)
Найдут применение формулы
СГА = ЕА, С11ГА = А-Ст. (9)
Свертки тензоров (их всего 9)
CK-CL, К, 1 = 1, II, III (10)
•- изотропные тензоры шестого ранга. Но это не все такие тензоры, к ним
надо добавить каждое слагаемое представления по базисным векторам
446
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
тензора ее. По (2.5)
8f 8" 6f
ee = rVrArmr"r/, 6? 8? 8? =
К К К
= iVr* [г" (гггА-г*гг) + Г((гАг^-r^rA) + rft (rsrt-TtTs)}. (11)
В формулах (10), (11) представлены 15 изотропных тензоров шестого
ранга
из 6! -120 возможных. Окажутся полезными формулы шестикратного
сверты-
вания этих тензоров с тензором шестого ранга ААА, причем А = АТ.
Например,
ЕЕЕ AAA - it (А), ЕС, ААА = Д (А) /г (А2),
Сц-Сщ........ААА = 1Х (А2). (12)
Но инвариантных скалярных структур третьей степени относительно компонент
А, кроме перечисленных в (12), нет. Поэтому к этим же инвариантам
приведет свертывание с ААА изотропного тензора (6) 6С общего вида
6С = 2 аА1сЛ"Сд + гМг* [г* (a10r(i>+aur/erj)-f
К L
+ rt (о12ГЛ-(-а13гл) + гА (а14гл + а13г^)]. (13)
Получаем
6С ААА = 1 К7* (А) + 6Vi (A) 7i (А2) + 8Vi (А3)], (14)
причем vj, v2, v3 линейно выражаются через ак. В применении к удельной
потенциальной энергии нелинейно-упругой изотропной среды Тупин и
Бернштейн [8.13] называют vi, v2, v3 постоянными Ляме третьего порядка.
Правую часть (14) можно записать и в виде
j (ll + 2m) ll (А)-2ml, (А) /2 (A)-(-n/s (А);
7=yVi+v2, /п = v2-f-2v3, n = 4v3. (15)
Через I, т, п обозначены постоянные Мурнагана (F. D. Murnaghan, 1951).
В аналогичном, но более простом виде, представляется четырехкратная
свертка тензора (2) с тензором АА (при А~АТ)
4С АА = 1[А/|(А) + 2[х/1(А2)], (Ю)
% и р-постоянные Ляме второго порядка.
Свертывания тензора четвертого ранга, определяемого двумя симметричными
тензорами второго ранга
AB, AB2, А2В, А2В2; BA, В2А, ВА2, В2Аа,
приводят к четырем инвариантам
МA-В), 1г (A-В2), /4 (А2• В), Ii (А2-В2).
Добавив к этому перечню шесть инвариантов /4 (A*), /i(BA) (k=l, 2, 31,
получаем десять совместных инвариантов двух симметричных тензоров.
Совместные инварианты /2, /3 выражаются через перечисленные с помощью
формул (7.9), (7.10) и теоремы Гамильтона - Кэли *).
*) Спенсер Э. Теория инвариантов.- М.: Мир, 1974.
"11
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ ТЕНЗОРНОГО АРГУМЕНТА
447
Приложение II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Линейная функция тензорного аргумента
Рассматриваются линейные однородные функции компонент тензора первого
(вектора а) и второго (тензора Q) ранга. Эти функции могут быть
скалярными ф, векторами с, тензорами второго ранга Р. Они задаются одним
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed