Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(q11, q22, qss)->-(9u, 933, 922), (q12, q23, q31)->(-q31, - 923- 912)-
(14)
Эти требования удовлетворяются, если ф зависит от диагональных компонент
в комбинациях (q11, q22-f q33, q22q33), а от недиагональных - в
комбинациях (9122+ 9312, 9аз2> q12q23q',n). Каждое по отдельности из
соответствий (13) выполняется, если принять
ф = ф(9и, 922933, 922933, 9232, q122-[-q232-j- 9312, q12q23q31) (15)
или в другой записи
Ф = Ф(М0), /2 (Q), 911, 9232, 91а2-)-9"г-Н31г, 912923931)> (!6)
так как аргументы q22-j-q33, q22q33 в (15) восстанавливаются
соотношениями
922+933 = /i (Q) - 911. 922933 = /2 (Q)¦- 9UЛ (Q) + 9122 -
i- 9232 + 9312- (17)
Формула (16) обеспечивает инвариантность ф при преобразованиях по каждой
из групп переменных (14). Этим не исчерпаны все мыслимые аргументы,
обеспечивающие инвариантность ф при преобразовании (13); в число
аргументов следует еще включить /3 (Q); это позволит согласно (9)
заменить qnq23q31 суммой 91192з2+q22q312-)- 9339122. Приходим к
представлению
Ф = Ф(/х (Q), /2(0), /3 (Q), 911. ?232- 9122 + ?232j-<?312,
9n9232-|-92Vl2 + 9339122) (18)
как функции семи аргументов. Этим исчерпаны все представления ф полиномом
не выше третьей степени. В перечень аргументов, оставляющих инвариантным
полином любой степени, следует включить q3lSq123.
5. Группа кубической симметрии. Представление (18) следует дополнить
Получающимися круговой перестановкой индексов еще двумя представлениями,
соответствующими инвариантности при преобразованиях
°?2/2=C2CH-C3Cl -CjCg, 0^/2=СзСз+СхС2 -C2Cj. (19)
456
ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Полином третьей степени, инвариантный в группе кубической симметрии,
поэтому должен сохранять вид при заменах
(?", ?23) - (?22, 9е1) -* (?33, Я1г) и это требует включения в перечень
(18) трех аргументов
qUqWqM' quqM*+ д22д3^~\- q33q^2\ q23* + + q'2',
так как степени выше третьей не включаются. Но два из этих трех
аргументом
уже включены в (18). Инвариантный полином не выше третьей степени
в рас-
сматриваемой группе симметрии оказывается зависящим от шести аргументов
Ф = Ф(/г(0), h (Q). h (Q). ?U?*V3. ?124<7234<?312,
9и92зг+?2У12 +93Y22)- (20)
Замечание. Приводимые Г рином и Адкинсом [ 1 ] представления изотропного
в трех классах кубической симметрии полинома содержат также шесть
аргументов и сводимы (если ограничиться третьей степенью полинома) к
(20).
В изотропной группе кубической симметрии полином четвертой степени
включает также аргумент
qntqiV+qM'qM'+q^q31*- (21)
6. Трансверсальная изотропия. Скаляр, изотропный в этой группе
симметрии, 'остается неизменным при преобразовании поворота на любой угол
ы вокруг фиксированного направления с3. Тензор Q задается в
ортонормированном триэдре Cj, са, с3
Q = c3c393:! + 9"3 (сас3 + с3са) + 9"Рсаср (а, р = 1, 2). (22)
Представление повернутого тензора имеет вид
Q' = [Е cos "+(* -cos (r)) c3c3-f с3хЕ sin to]-Q-[E cos co+(l - cos (o)
c3c3 -c3 .
X E sin со] = с3с3<733 -I- (cac3 -I- c3ca) q<*3 -f ?"PcaC|3, (23)
причем qst-компоненты Q' в том же триэдре. Они оказываются равными 911
=дг1 cos2 W + 922 sin2 со - 2д12 cos О) sin (о,
q22 = q31 sin2 со -(- 922 cos2 со-f- 2g12cos w sin со, (24)
ql2 = (q22- g11) cos (o sin (o+ g12 cos2 (o,
^3i = 9З1 cos (o-f- 923 sin (o, q23 = -931 sin 0) + 923 cos (o, qs3 =
q33. (25)
Формулы (24) определяют преобразование компонент qa$ тензора двух
измерений саср при повороте осей Cj, с2 на угол со. Инварианты этого
тензора равны
д^ + д22 =911 + 922, qllq22_q12^ = qllq22_q12^ (20)
- это результат исключения со из трех уравнений (24). Исключение со из
двух уравнений (25) определяет инвариант
931"_|_ff23* = ^3lS_|. q2S\
В число аргументов включается также /3 (Q) - результат исключения со гз
пяти уравнений (24), (25). Скалярный инвариант в группе трансверсальной
изотропии оказывается функцией (не обязательно полиномом) пяти аргументов
ф = ф(?п + (?221 qiiqM_qi*t g33_ 931*4.9232, /з(0)). (27)
§6]
СКАЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ ВЕКТОРОВ
457
Его можно представить и функцией аргументов
<P = <P(/i(Q). (Q), /з (Q). q33, q3X' + q32*+q33*)=;
= 9(7i(Q)> 73 (Q), /з (Q), c3-Q-c3, c3-Q2-c3). (28)
7. Изотропный скаляр сохраняет форму функциональной зависимости от
компонент тензора Q при всех преобразованиях 0" (поворот на любой угол
вокруг произвольно направленной оси). Аргументы в (28), зависящие от с3,
отпадают
Ф = Ф (MQ)> MQ). MQ))- (29)
Конечно, в это представление не входит базис, в котором был определен
тензор Q. Определение изотропного скаляра заключено и в записи
V0": ф (Q)=cp(0T.Q-0). (30)
Доказывается обратное предложение: скалярная функция над симметричным
тензором представляет скалярный инвариант тогда и только тогда, когда она
представима функцией инвариантов этого тензора. Дополнением является
утверждение: инвариантный скаляр, являющийся полиномом от компонент
симметричного тензора, представйм полиномом от его инвариантов Ik{Q).
8. Число слагаемых полиномиальных инвариантов второй (ф2) и третьей (ф3)
степени.
