Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
и по (2.16)
VXЙ - уо>т - ЕV¦ •<"- VVA (Q) -(VV-Q)T -Е [V2/] (Q) -V-V-Q]-
Подстановка в (24) приводит к искомому представлению
Ink Q^- v2Q+ VV-Q + (VV-Q)T-r (Ev2- VV) h (Q) -Ey y Q. (26) Из него сразу
же следует симметричность Ink Q при Q = QT
Q - QT: Ink Q = (Ink Q)T. (27)
Второе представление Ink Q следует немедленно из определения (23)
Ink Q = ?,n9esmrrqrr\/t\/sqnm = г*Хгпг^ XrmУ(У4(?"т, (28)
§7] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 477
откуда, учитывая переставимость операторов ковариантного
дифференцирования, приходим к следующим выражениям контравариантных
компонент:
(Ink Q)n=-^r (у1<7зз'г vl</22 - 2у2Уз<7гз)>
f (29)
(Ink Q)12= - [- ViV2<733 + \7з (Vi<?23+ V2<?3i V3912H
(остающиеся четыре компоненты получаем круговой перестановкой индексов).
Пусть Q - линейный тензор деформации (2.11). В декартовых координатах
выражения (29) 'принимают вид
{1пкг)гг=д%,+о^_ф^ да* да* да2да*
(Irik е)
12 д2гзй ( д (де2з , де31 де12
да1 да2 г да3 \ 5а1 ' да2 да3
и условия 1пкв = 0 приводятся к известным шести уравнениям сплошности
Сен-Венана в линейной теории упругости.
§ 7. Ортогональные криволинейные координаты
1. Выбор криволинейных координат q1, <?2, q;l подчинен требованию
ортогональности базисных векторов
<Vi> = giA = 0, s ф k; rs-rs--=gss=--Hl (s=l, 2, 3). . (1)
Величины Hs = \rs\ называются коэффициентами Ляме. В рассмотрение
вводится ортонормированный базис
es - jf-, s~ 1, 2, 3; | е5 | = 1; ereA = 0, s Ф k. (2)
Вектор е - единичный вектор нормали поверхности qs = g'o=const, он имеет
направление касательной к кривой [цЦ, вдоль которой эта координата qs
переменна (в сторону, куда она возрастает), а две другие постоянны.
Матрица ковариантных компонент метрического тензора j| gSh Ц диагональна,
как и обратная матрица !| gsk ||
\\gsk ll=diag (Hf, Н%, Н\), il^|| = diag^, ±, ^) . (3)
Поэтому
rs = g3l'rk=±, rs = Hsts, rS=jf- >
Hs ns
es d ...
*=h~W' E = ()
Конечно, индекс, входящий в левую и правую части формулы, не является
немым; суммирование по нему не предполагается. Сохраняется суммирование
по немому индексу; в отличие от принятого правила оно проводится и по
повторяющимся трем индексам и независимо от расположения индексов:
примерами служат выражения V и Е в (4).
2. Цилиндрические и сферические координаты - хорошо известные примеры
ортогональных криволинейных координат.
478
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Для цилиндрических координат
q1 = r, q- = ф, qJ = z; 0 < г < оо, 0< ф < 2д, оо < г < оо (,",j
- это радиус, азимутальный угол, высота. Координатные поверхности -
круговые цилиндры /¦ = /¦", осью которых является ось OZ (единичный
вектор к = е3), полуплоскости ф = ф0, проходящие через ось, ей
перпендикулярные плоскости z=20. Координатными линиями в пересечении
соответствующих пар поверхностей служат прямые [г], параллельные оси OZ,
радиально направленные полупрямые (г] и окружности [ф]. Касательные к
этим линиям- векторы е3 = к, е1 = еГ, е2 = еф. Якобиан J= Vgг обращается
в нуль ни оси OZ; эта прямая не включена в область задания координат.
Вектор-радих с точки в цилиндрических координатах представляется
выражением
r = rer + kz. (б)
Для сферических координат
ql-=R, = Я, qs - X; 0 < R < оо, 0 < Д < л, 0 < Я < 2л (7)
- радиус сферы, угол, отсчитываемый по меридиану от северного
полюса,
долгота (с востока на запад). Координатные поверхности: сферы R = RU с
центром в начале координат О; Д = Д0 - круговые конусы с вершиной О;
полуплоскости Я = Я0, проходящие через ось OZ- Координатными линиями
служат параллельные круги [X,], по которым пересекаются поверхности сфер
и конусов, радиально расходящиеся полупрямые (/?]- пересечение конусов Ап
и полуплоскостей Я0; меридианы [Д] - пересечения полуплоскостей Я0 со сфе
рами R0. Касательные к этим линиям-векторы е3 = е^, е1 = е/?, e2 = efl;
k = e^ cos # - e^.sin Д - единичный вектор оси OZ.
Якобиан У g = R2 sin О. Вектор-радиус определяется формулой
r = eRR. (8)
Квадрат линейного элемента в ортогональных координатах представляется
выражением
dr-dr = H\dq,г+ Htdq^-y H%dq32 = ds2, (9)
а элементы дуг на координатных линиях [qк] равны
dks =Н kdqk- \ гк\ dqk. (10)
Для цилиндрических и сферических координат dts = dr, Hl -Hr = 1; d2s = /-
dф, Н2 = Н =r\ d3s = dz, H3--Hz = 1. (11) diS = dR, H1 = HR- 1; d2s =
/?d$, = R;
d3s= R sin Д dЯ, H3 = H^--~R sin#. ^ j 21
3. Дифференцирование векторов ортонормированного базиса. Конечно,
могут быть использованы формулы § 4; предпочтительно избежать вычисления
символов Кристоффеля и прибегнуть к кинематическому способу подвижного
триэдра Дарбу (G. Darboux).
Пусть вершина aS ортонормированного триэдра es движется с единичной
скоростью г=1 по координатной линии [qm], так что
dms = H," dqrn - dt
(t - время). В каждом мгновенном положении триэдра векторы es в этом
движении должны приобретать направления касательных координатных линий в
точке ее движение поэтому сопровождается вращением триэдра вокруг
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
