Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
4(Q2)q = 2Qt
н аналогично
S/i (Q3) = /1(Q2-6Q-|-Q.6Q-Q+SQ-Q2)=3Q2:.6Q -3Qt2.-6Qt,
/1(Q3)q = 3Qt2.
Пришли к выражениям производных первого инварианта степеней тензора
/i(Q)q = R. /hQ2) q-2Qt, MQ3)q-=30t2. (1)
^ А. и. Лурье
450
ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Из них по (1.7.9), (1.7.11) и используя теорему Гамильтона-Кэли, получаем
/2(Q)q=E/1(Q)-Qt, /3(Q)q = Qt2-/i(Q)Qt + E/2(Q) = /3(Q)(Qt)-1.
(2)
Эти важнейшие формулы позволяют составить выражение производной скалярной
функции инвариантов
ф (MQ). MQ). /*(Q))q =
4-/ 101
Е-|тг
131
2. Производная ф(0-0т). Заменив в исходном определении (2.7) Q на QT,
имеем, сославшись еще на (1.7,13),
бф = ф0-.бОт = фдТ--бО = фтт..бОт, ф()тт = Фо, (4)
откуда снова следует (2.9). Рассматривая теперь ф, как функцию
симметричного тензора S = Q-Qr, имеем
5ф = ф0 • -бОт = ф5 • -6ST= ф^ qT- -(Q-SCf-f 6Q-QT) =
-,фо qT.q-6q^+qT.?q qX"SQ = [?q qT-Q+(9q qT)t-Q]..6Qt
и no (2.9)
'Pq^Vq1'0, фа.от==Тф9'°-1' (5)
причем последнее соотношение имеет место, если Q - неособенный тензор.
После замены Q на QT имеем, учитывая (4),
V = 2V.Q'QT==(pTQ' ^ = 2Q'(V.q)T>
так что
ф0=2<"-ф0т.ц- ?QrQ=yQ_1-cPQ- (6)
3. Формула связи ф0 с фа-1. Имеем
Q Q_1 = E, 5Q-Q-1 -| Q.6Q-i = 0, 6Q-i = _ Q-^fiQ-Q-1 и поэтому
бф = фд- •бОт = ф0_1. -6Q~lT = -ф0_, - •Q_lT-6QT-Q_lT =
= -Q-iT-9q_i-Q-1t--6Qt,
так что
Qr ¦ Фо = Фо-1'0_1Т- (?)
4. Производные билинейных форм a-Q-b, a-Q2-b. Имеем
6(a-Q-b) = a-6Qb = SQ--ba = ab--5QT, (a-Qb)Q=ab, (8)
6(a-Q2-b) = a-(Q SQ ! 6Q Q)-b = (Q 6Q+6Q Q)- ba =
= 6Q' (ba-Q ( Q'ba) = (QT ab-yab-QT)- 6QT,
так что
(a-Q2-b)Q =a Qb-( aQ-b, (a-Q2-b) T =ba-Q-pQ ba. (9)
производная 'гензора по тензорному аргументу
451
5. Производные lt(Q) по Q'3. Имеем б/х (Q) = Е • -6QT = /1 (Q)Q2- •
(QT-6Qr + 6QT• QT) -
= [/i(Q)q2-Qt + Qt-/1(Q)q2]--5Qt
Тензорному (матричному) уравнению
/, (Q)q2-Qt+ <Г-Л (Q)Q2 = E
удовлетворяет решение
Аналогично приходим к тензорному уравнению
h (Q3)q2*Qt + Qt-A (Q:!)Q2 = 3Qt2,
имеющему решение
/t (Q:i)Q2 = y Qt. (11)
Конечно, /1 (Q2)q3 = Е. Обратившись к (1.7.9), (1.7.11), приходим к
формулам
MQ)". = 4-[/i(Q) qt_1-e],
1 1 (|2)
. /3(Q)Q2 = -2'[Qt-/i(Q) Е-|-/2 (Q)QT_1]=y /3 (Q) QT~2-
В (10) и (12) предположено, что Q-неособенный тензор.
§4. Производная тензора по тензорному аргументу
В векторном базисе задается девять функций ртп компонент тензора Q
Р тп^ Р тп (?П......931)- (1)
В новом базисе г5 им приписываются значения
Pst=rs-rmrrr"pmn(qWr1-rflrg-r1 q^-rjg-r1) (2)
и этим определяется тензор второго ранга P(Q)
р (Q) = Pstrsrf = rsr^ ¦ г(r)йг/¦ гПртп = гтг"р,яп. (3)
По (2.7) производная PQ представляется выражением
PQ =rmrn (pm,t)n =rmrnrsrf . (4)
dqst
По (3) и (2.7)
6Р = rmtnbpmn = г,лгл (Ртп)а ¦ -6QT -=rmrnrJr* • 6QT (5)
dqst
и по (4)
6P = Pq.-6Qt. (6)
Здесь тензор второго ранга 6Р линейно связан с 6QT соотношением вида
(1.2в); величина (4), названная производной тензора Р по тензору Q,
представляет тензор четвертого ранга. Формула (6) дает инвариантное
определение "произ-
15"
452
ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
PQ =~2 r"r" (r-M + г'Н) . (8)
водной тензора по тензору", формула (4) - правило ее вычисления.
Последнее можно записать и в других видах
Рр = г"г"г,г^ = гиг"г*г' ^ = r'WМ. (7)
dqst dqst dqs
и т.д. Для симметричного тензора Q QT по (2.8)
* .m-и /-.t-f I Л-.'П дРтп
dqst
1. Производная произведения скаляра на тензор ip(Q)P(Q). Имеем
6 (фР)=.-=Р6ф+ф6Р = (Рф0 + фР0)- -6QT, (фР)0 = Рф0 + фР0- (9]
Записывая в другой последовательности, имели бы
6фР = (6ф) Р -|-фбР = (фд- -6Qr) Р + фРд- -6QT = P(pQ- -6QT-j фРд- -6QT,
так как скаляр (pQ--6QT можно записать и справа; получили то же выражение
(9). Конечно, записи Рфд и фдР представляют различные тензоры; в
правильном выражении (9) тензор Р в первом слагаемом расположен слева.
2. Производная произведения тензоров
6P-S = (6P)-S + P-6S -(Pq--6Qt)-S + P-Sq--SQt.
Но по правилу (6) в первом слагаемом 6QT должно быть перенесено вправо.
Применив (1.15.4), имеем
6QT -Сш • • 6QT- rsr, (Hr*• • 6QT), (PQ • • 6QT) • S = (PQ • • W) •
SHr*• • 6QT,
так как скаляр в скобках переносим вправо. Получаем
(P-S)Q = P.SQ+(PQ--r^).SrV=-[P-(SQ.-r^) + (PQ..r,rr).S]r'r^ (10)
так как Sq-¦rJJr(r,r's = SQ--Сш = Sg.
3. Замена независимого переменного. Тензор Р предполагается зависящим от
Q через посредство S(Q). Тогда
6P=Pq..6QT = Ps--6Sr, 6S = Sq--6Qt, 6ST= = С,, • -6S -Си • -SQ • -6QT,
Pg •= PS- -Сц "Sq - - PS' -TsTf (Г*П- -Sg).
Аналогично и для скаляра
Ф<} - Фз ' '^ir 'Sq=Ts ' -^Q' так как ф5"Сц = ф* по (1.15.4).
4. Производные Q, Q2, Q-Qr, QT-Q, Q-1. Имеем
8Q - С,,- -6Q1, 6Qr -Сш- • 6Qr; Qq=C", QTQ=Cm, QqT=Ciu. (13)
Далее по (10)
(Q2)q =Q-C" + r(ri-QrV = (Q-rfri + rrri-Q) Hr*, *
(14)
(Q-QT)g - (Q-rirt + r)r5-QT)r<rs, (15)
(QT ¦ Q) Q -- (QT ¦ r,rs + rsrf • Q) Hr*. (15)
Имеем далее
Eg -0=(Q.Q-1)g^(Clrrjrt).Q-1r<r^-Q-(Q-1)g = r<rJ.Q-1rfr*+Q.(Q-l)Q-
?> l) J
ИЗОТРОПНАЯ СКАЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ ТЕНЗОРА
453
так что
(Q-1)Q=-Q-1TtrJ-Q-'r'r*. (17)
