Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для симметричного Q формулы (13), (14), (17) приводятся к виду
Qq =y(Ci,+Cni), (18)
(Q% =у (0'(гДН-(19) (Q-1)Q=-y Q-'-niva-1 (r^+rV). (20)
5. Производная первого инварианта произведения тензоров. Имеем
Ыг (P-S) = 6 (P--S) = P--6S + S--6P==(P--SQ-bS--PQ)..6QT,
7i (P-S)q = Р• • SqS--Pq. (21)
6. Вторая вариация скалярной функции тензора. Сохранив в ряду Тейлора
скалярной функции (2.1) тензора Q квадратичные по 6qsi слагаемые, имеем
4гф = ф(9п+6р11, .... 9" + 69*1)-ф(9", ...,931)-
= -^-б^-|-!---------- bqmn bqst.
dqsi 2 dqmn dqsi
По (2.7) и его определению производной тензора по тензору (4)
cp0 = rV-^- , ф00 -= г^г'г^г"-~-. (22)
dqst dqmn dqst
Непосредственно проверяется запись
-=6Qt..Vqq..6Qt. dqmndqst
Приходим к выражениям
Дг<р=- бф-1-б3ф, бф=-ф0--бПт, 62ф=у 6QT--фдд ¦ -('QT. (23)
§ 5. Изотропная скалярная функция тензора
В I. § 8 через qmn, q'mn обозначались компоненты подвергнутого
ортогональному преобразованию тензора Q
Q' = 0T-Q.0 (1)
соответственно в векторных базисах "старом" и "новом" rs. Конечно, qmn -
== q'^n и поэтому скалярная функция компонент Q не изменяет
вида при
'Такой замене переменных
9(qu> q22, •••, q31) = 9(q'u, q'22, ..., q'31).
При замене же переменных qmn на qmn
Ф(д1х, д22, ..., g31)==T(qn' q22. q31)
(см. (2.1)] сохраняется числовое значение скалярной (скалярнозначной)
функции (при любом, не только ортогональном преобразовании), но не форма
функциональной зависимости ф от qmn. Но она может оставаться и
неизменной; Например, если ф зависит только от инвариантов.
454
ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Ограничиваясь ортогональными преобразованиями, назовем скалярную функцию
компонент тензора изотропной, если она сохраняет форму зависимости от них
при любом ортогональном преобразовании *)
VOcro: ф (q11, 9а1) = ф(9п, Г1). О
Такое свойство функции ф может выполняться не для всех ортогональных
преобразований, а некоторой их подгруппы ох а о. Скаляр называется
изотропным в этой подгруппе - это свойство, как увидим, связано с
зависимостью его от определенных сочетаний функциональных аргументов.
Если ф - удельная потенциальная энергия, то принадлежность к той или иной
подгруппе определяется свойствами симметрий среды.
В определении не исключены несобственно ортогональные преобразования, так
как повернутый тензор (1) не изменяется при замене О на -О, a det (-О) -=
-detO= 1.
1. Триклинная подгруппа ортогональных преобразований включает лишь
единичный тензор 0 = Е. Любой скаляр изотропен в этой подгруппе.
2. Моноклинная подгруппа содержит преобразования поворотов на угол д,
вокруг фиксированного направления с3. По (1.8.16)
0^ = 2clCl-E = (0^)T. (3)
Представление тензора Q в ортонормированном триэдре clf с2, с3 задастся
выражением
Q = (?llc1c1+91" (CjCcc -1 cacjH-<?aPcaC|3 (а, р = 2, 3). (4)
Повернутый тензор равен
Q'- (0")T.Q-Oj:i = (2c1c1 - E)-[i?llcic1+?1"(c1ca-|-cac1)+9"I5cacp]-
(2c1c1 - Е) --
= <?11cic1-|- ?аРсаср - qla (CiCa+CaC,)
и изотропный в моноклинной подгруппе тензор сохраняет форму зависимое и
от компонент тензора Q в ортонормированной системе сь с2, с3 при
преобразовании переменных
(g11, q2'2, q'3i, q12, q23, q21)->(911, ?22, <?33' -<?12, <?23, -Cu)> <5)
как можно было предвидеть. Мы ограничимся рассмотрением полиномиальных
представлений ф через компонент Q. Существует лишь только три комбина-
нации х'2, у2, ху, оставляющие полином F (х, у) неизменным при замене
знаков x = q12, y = q21. Итак, представление изотропного в
рассматриваемой подгруппе скаляра имеет вид
ф-ф (911. 922> 9:33> 9122> <?23> 9312> <?12?31). (6)
3. Группа ортотропии. Изотропный в этой подгруппе скаляр сохраняет вид
при преобразовании (5), но и при преобразовании
(g11, q2'2, q22, q'2, q2'2, q'n)->- (?u, q22, q33, -q12, -q22, q31).
0)
Это соответствует тому, что в подгруппу преобразований включен также
поворот
OjS^CjCs - Е.
Поэтому сохраняющий форму скаляр оказывается зависящим от аргументов q11,
q22, q22, q122, q222, q'il2, q12q22q21. $
*) Запись VOC о обозначает "для всех элементов О группы ортогональных
преобразований о".
§5]
ИЗОТРОПНАЯ СКАЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ ТЕНЗОРА
455
Произведение q12q23q3X входит в состав /3 (Q)
I3(Q) = qnq22q33 - q"q232 - q22q3i2 - q33ql22-'r2q'2q23q31, (9)
причем остальные входящие в него слагаемые выражаются через аргументы в
перечне (8). Итак, изотропный в подгруппе ортотропии скаляр представим в
виде
ф = ф(<7и, q22, q33, q12\ q23\ q3,\ /3 (Q)). (Ю)
Из этого представления следует, что он сохраняет вид и при повороте
0Я =о* .01 = -2 (ClCl+с2с2) + Е =2с8с8-Е. (11)
4. Преобразование 0(tm)^2. Тензор Q, заданный выражением (4), преобразуется
к виду
Q' = (0?/2)т ¦Q-0(tm)^"' -- (ctCj -j- с3с2 -с2с3) • Q- (ciCj-f- с2с3 с3с2) =
= q11^ + q33c2c2-f q22c3c3 + q12 (c3ci + CjCg) -
- q23 (c2c3-f c3c2) - q31 (CiC2-f c2c,) (12)
И этим осуществляется преобразование
(q11, q22, q33, q12, q23, q31)~^(qn, q33, q22, - q31, -q23, q12). (13)
Диагональные и недиагональные элементы преобразуются по правилам
