Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
дР
dqs
Здесь уР-тензор третьего ранга. Получаем V(Q-P) = (r'.|^).P+(,*.Q).^ =
= (V-Q)-P+(QT-r4).r'*r" Vspm"=PT-V-QW--rW'Vsp,,m,
так что
y.(Q-P) = PT-(yQ) + QT--VP. (11)
7. Ротор векторного произведения QXr
V X (Q X г) = (у х Q) X г -f- rs X (Q X Гу),
г4X(QXгД = rfXrmr"XTsq'm - eSmqenstrl]Tiqm = (b?bn - Ь"Ь]) r^q'm =
= ?iV'-r,r V = QT - E/X(Q),
так что]
У X (Q Хг) = (у X Q) Xr-f QT - E/j (Q). (12)
§ 4. Производные базисных векторов. Символы Кристоффеля
1. Принимается обозначение производных базисных векторов
drs . . дг1 _ д2г
dqt St fs dqs dqi dqs
Их представления в форме разложения по базисным векторам задаются
выражениями
iV=Wi>' (2)
Коэффициенты этого разложения называются символами Кристоффеля второго
рода (они часто обозначаются Г^). Из определения следует симметричность
§ 41
ПРОИЗВОДНЫЕ БАЗИСНЫХ ВЕКТОРОВ
471
символов по нижним индексам
Ш-иЬг1"гь- • (3)
Следствием (2) являются соотношения
¦gqk = Tst-rk> (4)
{5}'
правые части которых выражаются через производные ковариантных компонент
метрического тензора. Действительно,
д д _
~~Г rs'Tk- ~7 7* gsk - rst'rk + Г?-ГИ>
dq' dq1
д
gkt-=rks-rt + rk-ru,
д
-- gts - rtk 'ri + гГ rsk dqk
и величину в правой части можно получить, вычитая третье равенство из
суммы первого и второго
rst.rk=L( к].
2 \ dqг dq6 dqk )
Величины справа называются символами Кристоффеля первого рода
Ь2 \ dqt ^ dqs dqk )
Формулам (4) и их обращениям придается вид
(5)
= У Г* = [S/, Й], j>=g4h{st, k}.
(6)
Этим вполне определены производные (2) векторов основного базиса.
По ним можно определить и производные векторов взаимного базиса:
6( = rr-rt= О, . г1 + г'5'-г№=-^г . rj+rJ- -Щ г9
= 0.
drs , .
• n-f r-r(ft=---------
dq'c dqk
Приходим к формулам
dr5 , I s 1 _ drs ( s 1 t
dqk *rf+ ' dqk~~\kt\T' ( )
2. Производная g. Имеем
" ^dqk = ^ri-(r2Xr3) = {\k } г",(ГгХг^+ {гй } r"'(r3xri) +
так как, например, r,"• (r2Xr3) ф 0 только при m=l. Приходим к часто
применяемым соотношениям
= s I 5 1 ' (8)
dqk V g \sk f ' dqk ~ \ sk ( '
472
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
3. Преобразование символов Кристоффеля. В новой системе криволиней ных
координат
Формулы преобразования компонент тензора третьего ранга (I, § 7) имеют
вид
тогда как в (9) входит лишнее (подчеркнутое) слагаемое. Символы
Кристоффеля поэтому не являются компонентами тензора.
§ 5. Ковариантное дифференцирование
Проведение вычислений над тензорными величинами требует введения
координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной
структуры. Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) обусловлено
присущими ему свойствами; оно определяется с помощью набла-оператора - в
символической записи: d (•¦•) = dr-\(•••}. Иначе обстоит дело с
компонентами, их изменение зависит еще от внесенного в рассмотрение
базиса. Например, пусть а-постоянный вектор, da = 0, но ak или ак вовсе
не постоянны вследствие изменяемости базиса. Обратно, при постоянных
компонентах вектор а не остается неизменным по величине и направлению.
Требуется поэтому ввести в рассмотрение характеристики изменяемости
тензора, сочетающие учет изменяемости как его компонент, так и базиса, к
которому они отнесены. Это достигается операцией ковариантного
("абсолютного") дифференцирования.
Задав вектор его контравариантными компонентами и сославшись на формулу
дифференцирования базисных векторов (4.2), имеем
qr = qr q'-')
базисные векторы преобразуются по закону Эг _
Поэтому
dq*
так что
(9)
(10)
При задании вектора его ковариантными компонентами по (4.7)
Величины
§5]
КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
473
называются ковариантными производными компонент (контра- и ковариантных)
вектора. С их введением производная вектора представляется выражениями
да да. .
-gji=r hS/sa'\ ^j=r ks/sak. (2)
Сходное вычисление для тензора второго ранга дает dQ д dq"
- - лТППг "• -. '
----- лСТПг г
dqs~dq*q mTn~~ dq
'lr r j.pmn(i 4 \r r iJ 4\f r ' mn 1 q V\smf чгп I Xsn(rmrfl
(4)
(5)
или после переименования немых индексов
0 = r(tm)яп = ^+{"}?9в + {"}?,"?- (3)
Аналогично для ковариантных и смешанных компонент
^ = г"г"ViW ^ { sm} qqn ~ { s"} qmq'
dQ m m d(!mn , \ m\ q j q \ m
W = TmvnVsq.,u vw." = _+<J sq J. qqn-^sn^q.q,
dQ - ¦n_________¦n_______dqm I Я \ -n I j n 1 -q
^-r r"M", ^sqm-^~\sm)q4 qm- ()
Вглядываясь в структуру этих формул, легко усвоить способ их составления;
целесообразность правил расстановки индексов сверху, снизу и
суммирования по немым индексам исключает возможность ошибок, "формулы
сами себя пишут". Конечно, развернутые выражения с явно выписанными
значениями символов Кристоффеля очень громоздки, они потеряли бы про-
стоту и изящество.
При ковариантном дифференцировании сохраняются формальные правила
дифференцирования суммы и произведения. Например,
yrasbt = (\/ras) bt -f as\irbt. (7)
По определению (2.2) набла-оператора
г) Я
уа^г* -^ = rsrkvsak = rsrkvsak, (8)
так что S7sak, SJsak - ковариантные и коконтравариантные компоненты уа.
