Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
479
т
угловая скорость этого вращения обозначается со. По известной
формуле кинематики твердого тела скорости концов единичных
векторов относительно
вершины триэдра будут равны
dtс dts т
и искомые формулы приобретают вид
т т т
xts, о = Нтт. (13)
т т
В рассмотрение вводится кососимметричный тензор Q, для которого о
является сопутствующим вектором
т т т т
' dq(tm) °РЧ'pK:q
Q = о X Е = о X е,^ = ts = oPQ tptq (14)
с компонентами
т dtq
0p4=~d^'tp
т
и по (1.11.1) вектор о в ортонормированной системе ts представляется выра
жением
tn lm 1 de,
°РЧ е'1Р1 ~2~дсрп'йр eqptet-
По (4.3), (I) и (2) имеем
" " 1 fdgsk , dg1k dgs1 \ идНк дНк dHs
rsi-rft = - -Г7 + ^--------ГТ ) = Н^~Т н1-- ofc) - Ht-- ost =
2 \ dqi dqs dqk / dq1 dqs dqk
=~~7 (Hsts)- Hktk =Щ*- Hk&sk+HsHk^.tk, oqr dqr dq1
q - - - (15)
^ n Ht ( дНк dHs \ dHk dHs
~ *th -------------- Oh ------ 0st -----------Obi---------Оо/.
qt dq* StJ H s dqs Нкдцк$'
так что
de lq
Подстановка в (15) приводит теперь к соотношению m 1 ! дНр ^ дНд ^
^
\ ТПЩчЬр,п ~ Hpdqp bqm ) eqpi е*=
2 \Hqdq4 pm HpdqP
1 / dHm dHm \ dHm " ч/
- ( a n S9m1 и "empt )et- tqXtm - S/Hm;.tm.
2 V Hq dq4 Hp dqP J Hq dq4
Итак,
m лР дн
о = vHmXtm, -J-=--(vHmXtn)Xts = trn f 6 msvH,n. (16)
dqn Hs dqs
Это - искомые деривационные формулы базисных векторов ортонормиро-
m
ванного триэдра. Отметим, что векторы о часто можно определить без
вычисления, основываясь на их кинематическом истолковании.
480 ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Для цилиндрических координат
1 <р з
Hr = 1, #ф = т, #з=1; о = 0, о = угХеф = к, о = 0, (17)
как и следовало ожидать-движение триэдра по координатным линиям
[г]
и [г] - поступательное, а по окружности [ф] - вращение с угловой
скоростью
Ф
<о = к /г.
Отличны от нуля производные
:0ХеФ = -ео
Зег ф Зеф
--^оХег = е .
Зф ч> Зф
В сферических координатах
R Ъ
HR= 1, о = 0; H^ = R, о = V#Xe0 = e^Xefl, = e? ; Нк = R s.n О,
I
o = v#я Xex=(e" s;n Д+е# cos 0) Хег>=- efl, s.n Дф-e^cos 0 = k.
Отличны от нуля производные dtR Зел
Зе
ЗД
Зе#
дХ
= kxed = e^ cos Д,
ек Хей = - еЯ>
деъ , v дХ к
R
дХ
= к Хед = е?_ s.n -
(tR s n + cos Д).
Подстановка в тождества
3 dek
д Зе/,
dqs dqi dqf dqs
выражений производных (13) приводит к равенству
(18)
(19)
(20)
(21)
3 * д
- о X е/.---------------
dqs dq*
о Хе*
t
Зо
3° V. 1 - (s v. ')
I С/; -[" О , ч \ О s\Cfr ) ¦
dq* J
t
do
do
dqf
°Xo)
X tk = 0
oXej у =
(Я 1, 2, 3),
откуда следует соотношение связи между векторами о
t S
do do ^ ^
-+оХо -=0. (22)
3^ dq1
4. Дифференциальные операции в ортогональных координатах. Вывод
приводимых ниже соотношений основан на представлении (4) набла-оператора,
S
на деривационных формулах и определении (16) векторов о.
а. Градиент вектора
et 3 dab
Vb -
Hsdq* и далее
Si - ( oXe"
i-es oXe,"-#j dqs Hs
do-k j tTn Hs dqs Hs
е/г-
's 3 OXtm J
' = o-(e,"Xeft) =
3//c
Hm dq"
¦ 6,.
д/е '
3#s
Hkdqk
§8]
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАУССА - ОСТРОГРАДСКОГО И СТОКСА
Получаем
Va = estk(-^ (23)
Sk\HsdqS HsHk dqk ^ Sk Hm Hsdq")
б. Линейный тензор деформации
z = t.( Aa.b~j- Os_dHj_ + (24)
2 ' *\Hsdq'^Hkdq* HsHkdqk HkHsdq" HmHsdq")
в. Дивергенция вектора
<3 as . am d\nHSR V'a dqs Hs +Hm dq'" ss'
у^(1пЯ +1пЯ2+1пЯ3) = У-1п
dqm ss dqm y 1 dqm s
Получаем
v.a = 1 A (JL H2H3Ch + ± H3Hia2 +-f3H1H2a3
V g dqs Hs lhHzH3 Xdq1 dq dq3
(25)
г. Ротор вектора. После замены esXek=-^- (е^Хе*-e*Xe5) получаем
VXa = ±i?2yL('y/4flft_yLtfA\ . (26)
2 HsHk \dqs dqk
д. Лапласиан скаляра. Полагая а = Уф в (25), имеем
1 f д Н2Н3 <Эт|5 д Н3Н1 Зф д HiHz Зф ,
V Vf~H1H2H3 [dq1 Hi. dql^dq2 Я2 dq^df H3 dq3 I ' ( 1
е. Дивергенция тензора второго ранга. По (6.4) получаем
v'Q=if;'dptstt4st=
¦(JL HiH3quzt+4-2H3Hi.q2t4 + 47i ) . (28)
~HtH2H3 \dq' г'"*4lTW_ra?*гз<?:
Далее используются формулы (16).
Хорошо приспособленные для вычислений в частных задачах, в которых за
редкими исключениями применяются ортогональные координаты, приведенные
здесь формулы лишены отчетливости и симметричности, присущих соотношениям
§ 6. Последние предпочтительно применять в общих построениях, когда
доведение до конкретных вычислений отодвинуто на второй план.
§ 8. Преобразование Гаусса - Остроградского. Преобразование Стокса
1. Предполагается ^известной теорема Гаусса-Остроградского в форме
Зф das
v о
Здесь do - da1 da2 dx3 - элемент объема v, do - этемзнт ограничивающей
его поверхности, ns-проекция на s-io ось декартовой системы нормали п,
направ-
- dv = J J nsq> do. (1)
16 А. И. Лурье
482
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
ленной вовне v. Функция ф (а1, а2, й:1) предполагавши непрерывной и
ограниченной вместе с ее частными производными первого порядка в
•замкнуто!! области о+о.
Объем v может содержать внутренние полости, направление л может не
пытывать разрывы на кривых поверхности о; пример - ребра параллелепипеда
*) Простейшим обобщение?,! формулы (1) является соотношение
= (niCl + n2C2-[-nsc3)do-^ ^ n-c do, (2)
