Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
определить параметр р, мы используем условие (6.39). Тогда получим
(в-42)
Отсюда мы можем, в принципе, определить параметр р через среднюю энергию
системы.
В качестве специального примера рассмотрим полость, заполненную
электромагнитным излучением, находящимся в тепловом равновесии со
стенками, температура которых равна Т.
Средняя энергия, которая содержится в одной моде резонатора при частоте
со, равна пКсо, где п - среднее число квантов частоты со внутри полости.
Так как гамильтониан для этой моды равен
Н = Йсоа+а, то из формулы (6.42) получим, что
00 4-
йсо ^ <п | а+ах~а а | п>
пЫ = <Е> = -^--------------------------, (6.43)
У <ог | х~а^~а | т> т=о
где
х = ехр (рйсо) (6.44)
и а+а | н> = п | ге>. Мы записали следы в формуле (6.42) в { | п>}-
представлении.
Вычисление сумм в выражении (6.43) нетрудно довести до конца. Для
среднего числа квантов в моде получается следующее выражение:
оо
У пх~п
-¦ п-о 1 1 (Еу , _
П ~ " х - 1 = ехр (Йю|3) - 1 " Д(c) •
у х-т
т=о
Отсюда можно найти р через п. Однако из принципа соответствия известно,
что при й->¦ 0 энергия Е должна
308
Квантовая статистика
[ГЯ. VI
переходить в среднюю классическую энергию, содержащуюся в выбранной моде
резонатора, т. е. при Гг -О Е -*¦ кТ, так как из классической теоремы о
равномерном распределении энергии по степеням свободы мы получаем V2 кТ
на каждую степень свободы. Поэтому в пределе при h -*¦ 0 из выражения
(6.45) мы получаем
(Е\ -+кТ-у- П~ - -
К1 йсор (J '
так что
% = 4т ¦ <6-">
Статистический оператор (6.41), который максимизирует энтропию при
дополнительных условиях (6.37) и (6.39), т. е. при Sp р = 1 и Spp# = (Е)
= кТ, имеет поэтому вид
ехр (- Н/кТ)
Sp ехр (- НрсТ)
(6.47)
Можно считать, что этот статистический оператор описывает ансамбль
гармонических осцилляторов, который находится в термодинамическом
равновесии с тепловым резервуаром при температуре Т. Так как оператор р
зависит только от #, то, следовательно, [#, р(#)1 = 0, и в силу (6.24)
оператор р не зависит явно от времени в состоянии теплового равновесия.
В энергетическом представлении, когда # | #"> = = Еп | ЕпУ, матричные
элементы оператора р вида (6.47) определяются следующим образом:
е-РЕт <Е | е >
<Еп | р | ЕпУ =--------- X Д . (6.48)
2j е m
Еш
Вероятность найти систему в состоянии Ет (или найти один элемент ансамбля
в состоянии Ет) равна поэтому
-рЕт
Рш = ~4 -№~ • (6-49)
2 е т
(Это есть не что иное, как диагональный матричный
ЭНТРОПИЯ
309
элемент оператора р в энергетическом представлении.) Распределение (6.49)
соответствует распределению вероятностей по Максвеллу - Больцману. Таким
образом, в энергетическом представлении мы можем записать статистический
оператор р следующим образом:
Р= 2 \Ет>Рт<Ет\, (6.50)
Ет
где величина рт определяется формулой (6.49). Видно, что Spp2 = 2(6.51)
т
так что данный ансамбль описывает смешанное состояние. Иными словами,
информации только о средней энергии системы еще недостаточно для полного
определения ее состояния.
Максимальная энтропия для ансамбля (6.50) равна S max = A Sp р In р =
/ .-ЗН \ .-PH р
= _ASp(^-)ln-^- = A + AlnZ, (6.52)
где
Z = Sp е-РН = 2 e"P?m (6-53)
ТП
- статистическая сумма, а
? е~^Ет
<?> = Sp pH - 2 ~SL~z-• (6-54)
m
Статистическая сумма Z определяет термодинамические свойства системы.
Мы хотим снова подчеркнуть, что когда известна только средняя энергия, то
ансамбль все равно может состоять из большого числа элементов, каждый из
которых находится в одном из состояний, например состоянии | Ету,
статистический вес которого рт определяется формулой (6.49).
310
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. VI
6.7. Матрица плотности для чаотиц со спином 1/2 139]
В некоторых"случаях, когда для описанияТэкспери-ментов достаточно только
нескольких параметров системы, матрица плотности может быть выражена
прямо через измеренные значения этих параметров [34, 35, 39]. В принципе
это можно сделать всегда, но практически - только тогда, когда система
описывается лишь несколькими степенями свободы. Один из таких случаев -
это вопрос о поляризации пучка электронов или электронов в твердом теле,
когда для эксперимента основной интерес представляет только значение
спина, а не характеристики пространственного движения электрона.
В гл. II и III мы ввели спиновые операторы Паули для частиц со "шном 1/2.
Было найдено, что полная система базисных векторов состояний может быть
получена из собственных векторов оператора ог. В этом разделе мы прежде
всего покажем, как статистический оператор для частиц со спином 1/2 может
быть выражен через измеренные средние значения компонент спина. Мы
используем статистический оператор для того, чтобы рассчитать эти
ожидаемые значения спина, находящегося в магнитном поле. Будут получены
уравнения движения для спиновых операторов, которые окажутся связанными с
классическими уравнениями для намагниченности магнитного образца. Таким
образом, мы еще на одном примере продемонстрируем применение теоремы
