Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
5.5. Если система двухуровневых атомов с энергиями Еа и Еъ находится в
тепловом равновесии с тепловым резервуаром при температуре Т, то число
атомов в состоянии | а) пропорционально ехр (- Еа/кТ), а число атомов в
состоянии | Ь> пропорционально ехр (- Еъ/'кТ), где к - больцмановская
постоянная. Покажите, что если атомы находятся в тепловом равновесии с
излучением, то
ЗАДАЧИ
291
среднее число квантов определяется планковским распределением
где Лю = Еа - Еь. Указание: воспользуйтесь результатами задачи 5.4.
5.6. Вычислите естественную ширину спектральной линии атомарного
водорода, соответствующую переходу 2р - Is. Сравните результат с
наблюдаемой шириной линии.
5.7. Вычислите допплеровскую ширину спектральной линии атомарного
водорода, соответствующую переходу 2р - Is. Водород находится при
комнатной температуре.
5.8. Решите гейзенберговские уравнения движения для операторов спина <з+
(Y) и (t), пользуясь гамильтонианом (5.144). Выразите полученный
результат через операторы б+ (0) и sz (0). У к а-з а н и е: сделайте
подстановку а+ (<) = S+~(t) ехр ton)-
5.9. Проверьте соотношение (5.180).
5.10. Найдите гейзенберговские уравнения движения для операторов а+ a, oz
и используя гамильтониан (5.175). Из этих уравнений выведите два
интеграла движения (5.178). Исключите из этих уравнений операторы в**' а
и и получите уравнение только
для az. Один из интегралов этого уравнения очевиден. На основе этого
интеграла покажите, что оператор sz содержит эллиптические функции.
Глава VI КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
6.1. Введение
Необходимость применения статистических методов возникает в квантовой
механике по тем же причипам, что и в классической механике, а именно из-
за недостатка информации об изучаемой системе. Обычно система имеет так
много степеней свободы, что физически невозможно проделать необходимое
число измерений для того, чтобы полностью определить состояние системы.
Для предсказания результатов измерений, производимых над системой, о
которой известно очень мало, должны быть использованы статистические
методы, требующие введения понятия ансамбля. Ансамбль - это совокупность
систем, тождественных по своим свойствам с изучаемой системой. Если
задана некоторая информация о системе, например ее средняя энергия, то
тогда каждая система ансамбля будет иметь точно такую же среднюю энергию.
Остальные, неизвестные, параметры этой системы отыскиваются для различных
систем этого ансамбля с помощью некоторого метода, который будет обсужден
позднее. Понятие ансамбля является полезным потому, что средние значения
физических величин по ансамблю равны истинному значению рассматриваемой
физической величины для изучаемой системы.
Как мы уже видели ранее, вероятностная интерпретация волновой функции
приводит к появлению дополнительных статистических свойств в квантовой
механике. Даже в том случае, когда известно, что система находится в
состоянии | ф>, в силу достаточно большого числа измерений, проделанных
над системой для определения состояния | ф), мы все же можем говорить
только о том, что
6.1]
ВВЕДЕНИЕ
293
некоторое измерение величины А будет давать величину а с вероятностью |
<а | ф>|2, где А | а) = а \ а). В этом случае необходимость в
статистическом описании системы возникает не в силу некоторого недостатка
информации о состоянии системы, а скорее из-за фундаментальной природы
возмущения, вызванного самим процессом измерения. Такие статистические
свойства отсутствуют в классических системах.
Мы уже могли убедиться в полезности введения ансамблей в квантовой
механике. Если состояние изучаемой системы описывается волновой функцией
или, что то же самое, вектором состояния | ф>, то по определению система
находится в данном случае в чистом состоянии. Это означает, что мы
обладаем полной информацией о системе, которая допускается квантовой
механикой. Если оператор А представляет наблюдаемую величину, то среднее
значение оператора А равно
, л\ __ <ФМ1ф> ,а ^
<Л>* - <ф|Ф> ' • (6Л)
Для получения этого среднего значения мы берем большое число одинаковых
систем, каждая из которых приготовлена одинаковым образом в состоянии [
ф>, и измеряем величину А для каждой системы ансамбля. Эти измерения
усредняются и должны совпадать с выражением (6.1). Следовательно, мы уже
имели дело с ансамблями, ибо все квантовые средние значения - это средние
значения по некоторым ансамблям. Если система находится в чистом
состоянии (оно изображается вполне определенной волновой функцией или
вектором состояния), то каждый элемент статистического ансамбля находится
в том же состоянии.
С другой стороны, если не было проведено необходимого количества
измерений для установления того факта, что система находится в состоянии
| ф>, то тогда имеется недостаток информации о состоянии системы, которую
можно было бы в принципе получить. В связи с этими соображениями, если
состояние системы не известно с достаточной полнотой и определенностью,
