Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Люиселл У. -> "Излучение и шумы в квантовой электронике" -> 93

Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.

Люиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике — М.: Наука, 1986. — 403 c.
Скачать (прямая ссылка): izluchenieishumivkvantovoyelektronike1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 122 >> Следующая

ансамблю и в случае, когда имеется полная информация о системе, и в том
случае, когда информация не является полной. Следует снова подчеркнуть,
что квантовые средние - это средние по ансамблю.
6.6. Энтропия
В классической статистической механике энтропия ансамбля систем
определяется с помощью соотношения вида
S - - к 2 Pi In Pi, (6.34а)
i
где к - постоянная Больцмана и pi - вероятность того, что система
находится в состоянии I. Величины удовлетворяют условиям
2/>г = 1, 0<р,<1, Pi = p\. (6.35а)
г
Физически энтропию можно представить себе как ме-ру недостатка информации
о~системё. Вели мы знаемДчто система находится в определенном состоянии
i, то тогда Pi - бц, и мы видим из формулы (6.34а), что энтропия
304
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. VI
равна нулю. В этом случае мы обладаем полной информацией о системе, а
состояние системы полностью определено.
С другой стороны, если мы ничего не знаем о системе, то это означает, что
мы можем с одинаковой вероятностью обнаружить любое ее возможное
состояние, необходимо ТОЛЬКО, ЧТОбы ВЫПОЛНЯЛОСЬ уСЛОВие Мы
i
покажем, что в этом случае энтропия максимальна. Для
этого найдем максимум функции S при условии, что
2pi=1- Этот максимум мы будем искать методом не-i
определенных множителей Лагранжа. Для этого про-варьируем энтропию S по
рр.
bS = - к 2) (1 + hi pi)bpi - 0, (6.34b)
i
и из условия 6S = 0 найдем максимум. Одновременно с этим нроварьируем
дополнительное условие pi = 1
i
и получим
2^/Ь = 0- (6.35Ь)
i
Воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа: умножим
равенство (6.35b) на неопределенный параметр к и сложим с равенством
(6.34b). Тогда получим
2(1 +1п/>г + k)bpt = 0.
i
Теперь каждая из вариаций bpi независима, и последнее уравнение будет
удовлетворено тогда и только тогда, когда каждый член равен нулю, т. е.
1пРг = - (1 + к).
Отсюда следует, что величина pi не зависит от состояния системы I, т. е.
систему с одинаковой вероятностью можно найти в любом из ее состояний. В
этом случае мы пе обладаем никакой информацией о состоянии системы.
ЭНТРОПИЯ
305
Именно поэтому энтропия является мерой недостатка информации о состояниях
элементов системы, как это и было определено выше. Это положение является
исходным пунктом теории связи Шэннона [36].В свое время Джейнс [37, 38]
предложил использовать понятие энтропии как фундаментальный постулат
статистической механики.
В квантовой статистике энтропия определяется через матрицу плотности
следующим образом:
S = -ZcSpplnp (6.36а)
при дополнительном условии
Sp р = 1. (6.37)
Для определения энтропии необходимо вычислить след оператора pin р. Пусть
совокупность векторов состояний { | п)} является полной и
ортонормированной. Тогда выражение (6.36а) приобретает вид
S =-к 2 (п | Р I тУ (т I ln РI пУ- (6.36Ь)
П, ТП
Если мы перейдем с помощью некоторого унитарного преобразования (см.
формулу (6.14), в которой матрицу преобразования S не следует путать с
энтропией) от представления { | ">} к представлению { | а)}, в котором р
диагонально, то тогда выражение (6.36Ь) приводится к виду
S = - к 2 Ра In Ра, (6.36с)
а
где Ра = <а [ р I а>.
Теперь возникает вопрос: каким образом найти матрицу плотности, которая
так детально обсуждалась нами ранее? Мы знаем, что и в квантовом случае
энтропия
(6.36) - это мера недостатка информации о состояниях элементов ансамбля.
Если мы, как и в классическом случае, вычислим максимум S при
дополнительном условии
(6.37), то найдем, что
2(1+1пр + Ь)бр = 0, (6.38)
ИЛИ
р = copst.
305
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. VI
Это означает, что энтропия максимальна в том случае, когда одинаковы
вероятности найти систему в любом из ее возможных состояний. С другой
стороны, если система находится в чистом состоянии | ij)>, то S - 0, так
как Рф' = бфф'.
Предположим теперь, что мы кое-что знаем о системе, например ее среднюю
энергию
<?> = Sp рН, (6.39)
где Н - гамильтониан системы. Эти сведения о системе должны быть отражены
в выборе статистического оператора, описывающего данный ансамбль. Мы
можем рассматривать их как дополнительное условие и выбрать р так, чтобы
энтропия была опять максимальна, но уже при дополнительных условиях
(6.37) и (6.39) одновременно. Тогда, если мы проварьируем но р выражения
(6.36а),
(6.37) и (6.39), то получим
Sр(1 + In р)6р = 0, Sp бр = 0, SpH6p = 0.
Если мы теперь умножим соответственно второе и третье уравнения на
неопределенные множители % и (3 и сложим с первым, то получим
Sp(l + А, + lnp -f- рЯ)бр = 0.
Так как бр произвольно и все вариации теперь независимы, то это уравнение
будет удовлетворяться только в том случае, когда
lnp = - 1 - А, - fiH,
или
р =е-<1+*>е-$я. (6.40)
Мы можем определить А, следующим образом. Возьмем след от обеих частей
выражения (6.40) и с помощью (6.37) найдем
е1+х = Sp е-(Ш ее== Z.
Тогда выражение (6.40) приобретет вид
е-рн е-т Р" SprPH " 2 '
(6.41)
6.6]
ЭНТРОПИЯ
307
где величина Z называется статистической суммой. Для того чтобы
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed