Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
в момент времени ta. Рассмотрим ансамбль систем. Как отмечалось ранее,
элементы ансамбля взвешены с вероятностями рф. Эти вероятности не
изменяются с течением времени, так как за время t - lQ над ансамблем не
производятся никакие измерения и, следовательно, не приобретается никакая
новая информация о системе. В силу этого статистический оператор р в
момент t, в соответствии с законом причинности, будет определяться
развитием во времени его значения в начальный момент времени ta\
Р(*) = 2рф1Ф(0> <Ф(01 = 2 Ръи (*ЛЖ(*о)> X
Ф Ф
X <-ф (t0) | U+ (f, t0) = U (t, t0) р (t0) U+ (t, t0), (6.22)
где p(i0) - начальное значение статистического оператора:
Р(*о) = (6-23)
Ф
Для получения (6.23) мы использовали выражение (6.19)
и сопряженное ему, а также соотношение унитарности
U+ = U-1. Из выражения (6.22) видно, что развитие во времени оператора р
для статистической смеси состояний описывается унитарным преобразованием.
Для того чтобы вывести уравнение движения для оператора р(t),
продифференцируем обе части выражения (6.22) и используем уравнение
(6.20) и ему сопряженное. Тогда получим, что
m^=[H,p(t)\. (6.24)
Следует отметить, что мы работаем в представлении Шредингера. &
этомтгредетавлении оператор р(?) зависит от времени в отличие от
большинства других наблюдаемых величин, которые в представлении
Шредингера не зависят от времени.
6.4]
УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРА р
301
Теперь можно легко получить среднее по ансамблю значение наблюдаемой
величины А в любой момент времени t, ибо зависимость от времени этого
среднего значения определяется зависимостью от времени оператора р(?). В
шредингеровском представлении среднее значение наблюдаемой в
момент времени t есть
<Ач (ty> -1] i\ <% (Ц | As (g | % (t)> = rip ps (0 As (g,
(6.25)
где индекс S означает, что все величины даны в представлении Шредингера.
Выражение (6.25) можно записать также с помощью (6.22) в представлении
Гейзенберга следующим образом:
(А) = Spp (t) A (t0) = Sp?/p (t0)U+A (t0) = Sp pH (t0) AH (t),
(6.26)
где индекс H означает, что все величины даны в представлении Гейзенберга,
и
Ли (t) = U+ (t, ta) As (t0) U (t, ta). (6.27)
Это равенство соответствует обычному закону преобразования операторов от
одного представления к другому. Особенно следует подчеркнуть различие
между выражениями (6.27) и (6.22). При выводе формулы (6.26) мы
использовали соотношение Sp^li? = SpiM, предполагая, что соответствующие
следы существуют.
Из выражения (6.26) видно, что средние по ансамблю могут быть вычислены
как в шредингеровском, так и в гейзенберговском представлениях. Однако
результат, естественно, не зависит от вида представления, в котором
проводились вычисления. В некоторых случаях при вычислениях значительно
удобнее использовать одно представление вместо другого. В дальнейшем во
многих случаях представление Гейзенберга окажется более удобным, чем все
другие представления.
В качестве примера, заслуживающего упоминания, мы рассмотрим один очень
простой частный случай, когда гамильтониан Н не зависит явно от времени.
В этом случае оператор U (t, t0) имеет вид
;я (г - г0) '
302
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. Vt
статистический оператор записывается в виде
сfi"|p(f)|?n'> =
<?п|р(г0)|?п,>. (6.28)
iH (t - to) ' Л
Очевидно, что в использованном выше энергетическом представлении развитие
оператора р(?) с течением времени сводится только к изменению фазы.
До сих пор мы рассматривали главным образом статистические смеси. Они
описывают такое состояние квантовой системы, о котором мы не имеем полной
информации, совместимой с квантовыми ограничениями. Если состояние
системы известно точно, то тогда система находится в чистом состоянии,
например состоянии | ф>. В этом случае можно с полной определенностью
сказать, что = 1, а для всех других состояний | г|/> вероятности р<$
равны нулю. Следовательно, статистический оператор
(6.4) для чистого состояния приводится к виду
В разделе 6.3 мы показали, что для смешанного состояния Sp р2 < 1.
Можно также доказать обратное: если р = | ФХФ |, то оператор р описывает
чистое состояние.
Таким образом, необходимым и достаточным условием того, чтобы
статистический оператор описывал чистое
6.5. Чистое состояние
РФ = | ФХФ |.
Отсюда сразу вытекает, что
2
Рф - Рф,
ибо <ф |ф> = 1. Кроме того,
Sp рф = <ф | ф> = 1, Sp рф = 1.
(6.29)
(6.30)
(6.31)
ЭНТРОПИЯ
303
сг,стояние, является условие
Sp рг = 1. (6.32)
Отсюда следует, что оператор р является эрмитовым и положительно
определенным оператором и что Spp = 1. Доказательство этого утверждения
оставляем читателю в качестве упражнения.
Среднее значение А для случая ансамбля, представляющего чистые состояния,
оказывается равным
(А) = Spp А = 2/V = <ФМ[ф>, (6.33)
ф'
так как рф- = 6Ф'Ф. Таким образом, в том случае, когда известно, что
система находится в определенном состоянии | ф>, среднее по ансамблю
сводится к обычному среднему по квантовому ансамблю. Именно поэтому
статистический оператор оказывается полезным при вычислении средних по
