Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Люиселл У. -> "Излучение и шумы в квантовой электронике" -> 90

Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.

Люиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике — М.: Наука, 1986. — 403 c.
Скачать (прямая ссылка): izluchenieishumivkvantovoyelektronike1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 122 >> Следующая

то система, по определению, находится в смешанном состоянии. В этом
случае должен быть сформирован ансамбль из таких систем, которые
находятся в различных возможных
294
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. VI
состояниях, "взвешенных" в соответствии с той частичной информацией о
состоянии системы, которую мы в состоянии получить. Если известно, что рф
- вероятность того, что система находится в состоянии | ф>, то тогда
среднее значение оператора А равно
<Л>=2рф<Л>ф = 2рф<Ф|4|Ф>, (6.2)
ф ф
где мы положили <ф| ф> == 1. Сумма вычисляется по всем возможным
состояниям | ф> системы. Величины р,\, являются вероятностями, или
весовыми факторами, и поэтому удовлетворяют соотношению
2 ~~ ^• (6-3)
ф
Напомним, что когда состояние системы известно не полностью (смешанное
состояние), то ансамбль формируется так же, как и в случае, когда
состояние системы задано полностью (чистое состояние); просто в первом
случае различные члены ансамбля "взвешены" в соответствии с некоторым
распределением вероятностей. Метод определения весовых факторов будет
обсужден позднее.
Для облегчения вычислений средних по некоторому ансамблю фон Нейманом
[31, 32, 9] была введена матрица плотности, или статистический оператор.
Этот же вопрос детально обсуждается и в книге Толмена [33]. В последние
годы во многих областях физики наметились новые важные применения матрицы
плотности. Обзоры Фано [34] и Тер-Хаара [35] дают некоторое представление
о том, как широка область применения статистического оператора. В данной
главе мы дадим краткое введение в этот вопрос и некоторые применения
статистического оператора.
В следующих двух разделах мы определим статистический оператор и
установим некоторые его свойства. В разделе 6.4 мы выведем уравнение
движения для этого оператора; оно описывает эволюцию статистической
"смеси" с течением времени в отсутствие возмущений, вызываемых
измерением. В разделе 6.5 будут обсуждаться чистые и смешанные состояния
квантовых систем, а связь между матрицей плотности и энтропией будет ус-
6.2]
СТАТИСТИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР
295
тановлена в разделе 6.6. Это позволит нам дать метод определения
статистического оператора, исходя из данной информации о системе. В
разделе 6.7 мы вычислим матрицу плотности для ансамбля частиц со спином
1/2. В этом случае мы будем считать каждую частицу одним элементом
ансамбля, что обычно принято делать, когда имеют дело с большим числом
одинаковых частиц. В следующем разделе мы определим квантовую
характеристическую функцию для ансамбля систем и покажем, каким образом
эта функция может быть использована для изучения статистических свойств
квантовых систем, находящихся как в чистых, так и в смешанных состояниях.
Разделы 6.9 и 6.11 будут посвящены изучению некоторых свойств
электромагнитных полей, имеющих пуас-соновское и экспоненциальное (или
гауссово) распределение вероятностей нахождения фотонов по заданным
разрешенным для них состояниям.
В гл. IV мы уже видели, что сигнал генератора образует распределение
Пуассона по модам резонатора. Здесь мы снова обсудим этот вопрос. Эти
результаты полезны для изучения квантовых шумов в линейных усилителях. В
разделе 6.12 мы рассчитаем энтропию некоторых ансамблей.
6.2. Статистический оператор
Для описания системы, вероятность нахождения которой в состоянии | \[)>
равна р^,, вводится оператор
Р = 2|^ф<Ф|. (6.4)
ф
Такой ансамбль описывает статистическую "смесь", в которой информация об
определенном состоянии системы является не совсем полной. Состояние | ф>
является одним из возможных состояний системы, а величина рф определяет
вероятность того, что система находится в любом из состояний | ф>. Для
удобства мы предположим, что <^"|) j = 1, но различные состояния | ф>,
вообще говоря, не являются ортогональными. Поскольку величины рф
определяют вероятности различных состояний |ф), то
296
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. VI
очевидно, что они должны удовлетворять условию
/>Ф>0, 2/4=1. (6.5)
Ф
Величина р, определяемая равенством (6.4), называется статистическим
оператором; она описывает ансамбль квантовых систем.
Поскольку величина р является оператором, то этот оператор всегда можно
задать в матричном представлении. Рассмотрим в качестве простого примера
ансамбль гармонических осцилляторов. Мы можем выбрать в качестве базисных
векторов собственные состояния оператора энергии { | и)} и записать
оператор (6.4) в этом представлении:
(л|р|л'> = 2<я|^>Рф(115|л'>. (6.6)
ф
Обычно эту величину и называют матрицей плотности.
Рассмотрим свойства статистического оператора р. Во-первых, заметим, что
след оператора р равен единице,
Sp р = 1. (6.7)
Это следует из определения (6.4) и условия (6.5). Действительно, если мы
возьмем след от обеих частей равенства
(6.4) и воспользуемся соотношением (6.5), то получим
Sp р = Sp 2 IРф I = 2 I = !.
ф ф
ибо </vJj | iJj) = 1. При этом мы воспользовались соотношением
sp | т(5> <ф |=2 <п I <ф I п> = 2 <ф I п> <п I = <'р I ф>>
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed