Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
В условиях равновесия вычисление реакций выполнялось уже в элементарной статике для различных типов твердых тел со связями (т. I, гл. XIII, §§ 3, 4); уже тогда мы видели, что, пользуясь гипотезой абсолютно твердого тела, мы не в состоянии были в общем случае однозначно получить местное распределение реакций, но могли определить только характеристические элементы их совокупности, т. е. результирующую силу и результирующий момент (относительно заданного центра приведения). Тогда же было отмечено, что такой неопределенности нельзя избежать, если оставаться в рамках механики твердого тела и не обращаться к представлениям теории упругости, в которой принимаются во внимание малые деформации, возникающие в естественных твердых телах под действием внешних сил.
Совершенно ясно, что аналогичные обстоятельства должны иметь место также и в динамическом случае, который мы будем теперь рассматривать; поэтому мы с самого начала ограничим задачу определения реакций, действующих на твердое тело, вычислением их результирующей силы и результирующего момента.
Легко гіидеть, что определение этих суммарных элементов оказывается почти непосредственным всякий раз: а) когда указаны, как в статике, активные силы; б) когда, кроме того, вполне известно движение системы.
Отметим здесь, как это уже было сделано в п. 28 гл. V, что условие а) будет всегда удовлетворено на основе прямых данных механической задачи, а условие б) включает в себя большей частью предварительное интегрирование системы дифференциальных уравнений, которое само по себе составляет более важную и, вообще говоря, более трудную задачу динамики. Однако достаточно представить себе технически наиболее простые случаи (маховики, балансиры, шатуны и т. п.), чтобы понять, как часто рассматриваемое нами движение твердого тела можно прямо считать известным.
Допустим поэтому, что оба условия, а) и б), удовлетворены, и среди внешних сил, действующих на заданное твердое тело S, будем различать силы прямо приложенные и реакции. Для прямо приложенных сил по предположению а) можно считать известными результирующую силу R и результирующий момент Af относительно какой-нибудь точки О, которую будем предполагать совпадающей с центром тяжести или неподвижной. Для неизвестных реакций аналогичные векторы будем обозначать через RhM.
§ 2. ПОНЯТИЕ О КИНЕТОСТАТИКЕ НЕИЗМЕНЯЕМОЙ СИСТЕМЫ 11
Основные уравнения (1) и (2') (последнее отнесено к центру приведения О, совпадающему с центром тяжести или неподвижному) дают непосредственно два уравнения:
М—JH+f,
(5)
которые и решают задачу.
Если из этих уравнений определить давления (прямо противоположные реакциям), то непосредственно видно, что последние складываются из статических давлений с результирующей силой R и результирующим моментом M и динамических давлений в собственном смысле слова с результирующей силой — R<d> и результирующим момен-
том — М№, которые определяются равенствами
Rm=f. м«=§, (6)
так что имеем
R = -* + RW> I (5')
M = -Af+MW. J
Заметим, что сказанное до сих пор сохраняет свое значение для какой угодно материальной системы, а не только для твердого тела. Ho если, как мы здесь это допускаем, речь идет о твердом теле, то оказывается более удобным для действительного определения общего характера распределения давлений принять систему отсчета, неизменно связанную с телом (с началом в центре тяжести или в закрепленной точке тела). Если, как это уже делалось несколько раз, мы выразим абсолютные производные от Q и К посредством производных относительно заранее выбранных осей, неизменно связанных с твердым телом, то уравнения (6) примут вид
RW = Q+© XQ, MW = K+ (о X К, (6')
где «о обозначает угловую скорость твердого тела. Теперь, для того
чтобы иметь в явной форме составляющие по подвижным осям векторов RW и MW, мы должны только принять во внимание общие формулы (29'), (30') из п. 15 гл. IV, учитывая при этом возможные особенности, которые могут быть в каждом отдельном случае.
Так как в уравнения (6') входят Q и К, то составляющие результирующей силы и результирующего момента динамических давлений выразятся через составляющие характеристических векторов а, о, Wt Pt q, г и через их первые производные (а также, конечно, и через структурные постоянные т, А, В, С, л:0, у0, г0). Если это окажется возможным, то эти производные удобно исключить; вообще говоря, ата удается сделать, используя дифференциальные уравнения движем
12
ГЛ. VII. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ
ния. В этом случае результирующая сила и результирующий момент давлений выразятся посредством составляющих характеристических векторов движения твердого тела и активных сил р].
Простой и особенно интересный пример приложения этих рассуждений будет изложен в § 3 при изучении вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
§ 3. Движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Физический маятник и его применения
б. Твердое тело с неподвижной осью. Рассмотрим твердое тело S, вынужденное вращаться без трения вокруг неподвижной оси и находящееся под действием какой-нибудь системы сил.
