Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Внешние силы приводятся здесь к силам, прямо приложенным (или активным), и к реакциям, возникающим в точках закрепления оси; перед нами типичная задача динамики, и мы будем предполагать, что при заданных прямо приложенных силах нам ничего заранее неизвестно о возможных реакциях и требуется определить движение тела. Так как система имеет только одну степень свободы, то достаточно получить одно уравнение, не зависящее от неизвестных реакций.
Обозначая через I ось (неподвижную) вращения твердого тела и принимая центр О приведения в какой-нибудь точке (неподвижной) оси мы будем иметь для нашего твердого тела два векторных уравнения (1) и (2'). Достаточно заметить, что возможные реакции приложены к точкам оси и потому их моменты относительно этой оси равны нулю, чтобы убедиться, что мы получим уравнение, определяющее движение, проектируя второе основное уравнение (2') на ось ? или, иначе, применяя теорему о моменте количеств движения относительно оси \ (гл. V, п. 10). Обозначив через A.15 результирующий момент относительно оси ? внешних активных сил, получим уравнение
W = <7>
или, введя угол 0, который достаточен для определения положения твердого тела при вращении его вокруг оси, и обозначив через А момент инерции твердого тела относительно оси $ (гл. IV, п. 20),
AQ = Mi. (7')
Осевой момент Mb как и силы, прямо приложенные, от которых
он происходит, можно рассматривать как известный и выраженный
в функции от времени, а также от положения и от скоростей точек твердого тела, т. е. в конечном счете от t, 6, Ь. Таким образом,.мы видим, что определение движения сводится к интегрированию дифференциального уравнения второго порядка, совершенно аналогичного
S 3. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ OdH
13
тому, которое определяет движение материальной точки, движущейся по заданной траектории под действием силы с известной касательной составляющей / (гл. I, § 1):
ms—f(s, s11),
Массе точки здесь соответствует момент инерции А, касательному ускорению s — угловое ускорение 0 и, наконец, результирующей / касательных сил — результирующий момент Mi активных сил относительно оси.
Естественно, что в особо важном случае, когда силы зависят только от положения, момент Mi зависит только от 0 (как /—только от s) и уравнение (7') будет интегрироваться посредством двух квадратур (гл. I, пп. 12 и 15).
6. Физический маятник. Физическим маятником называется всякое твердое тело, свободно вращающееся вокруг горизонтальной неподвижной оси и находящееся под действием одной силы тяжести. Обозначая через Si ось подвеса и через G—центр тяжести маятника (фиг. 1), мы будем определять положение маятника в любой момент посредством угла 0 (заключенного между —те и те), составленного полуплоскостью IG с вертикальной полуплоскостью, проходящей через ось $ и направленной вниз, и измеряемого от этой вертикальной полуплоскости. За положительное направление отсчета угла 6 берется одно из двух возможных для него направлений.
Так как веса отдельных точек твердого тела в их совокупности эквивалентны полному весу mg, приложенному в G, то момент Mi совпадает здесь с осевым моментом этого полного веса. Линия действия полного веса перпендикулярна к оси (горизонтальной) следовательно, абсолютная величина Mi равна произведению из mg на кратчайшее расстояние между ЭТИМИ двумя Прямыми, Т. е. I г sin 01, если г есть расстояние (постоянное) центра тяжести G от оси $. Далее, если примем во внимание, что вес постоянно стремится привести центр тяжести в вертикальную полуплоскость, направленную вниз (от которой отсчитываются углы), и, следовательно, создает восстанавливающий момент, то будет ясно, что Mi всегда должен иметь знак, противоположный знаку 0, а следовательно, и sin 0, так что по величине и по знаку будем иметь
Mi = — mgr sin 0.
14 ГЛ. VII. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ
Отсюда, применяя уравнение (7') предыдущего пункта, заключаем; что уравнение движения физического маятника будет
Ab = — mgr sin 6. (8)
Теперь достаточно положить
— = /, (9)
mr w
чтобы привести уравнение (8) к виду
/0 =—sin 0, (8')
в котором мы узнаем уравнение, определяющее движение математического маятника длины I (гл. I, п. 34).
Так как дифференциальные уравнения одинаковы, то одинаковыми будут также и интегралы (само собой разумеется, при тождественных начальных условиях), откуда и следует, что физический маятник движется как математический маятник длиной Ajmr.
Наконец, этот результат можно проверить и прямо, не обращаясь к гл. I, на основании того соображения, что математический маятник является только предельным случаем тяжелого твердого тела, которое д может вращаться вокруг горизонталь-
ной оси. Для этого достаточно повторить только что изложенные рассуждения и представить себе, что маятник представляет собой материальную точку P с массой т, соединенную с горизонтальной неподвижной осью S посредством твердого стержня (длины I и ничтожно малого веса), перпендику-
К I I
I I г
I \
I I •С
