Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
I I T Г’
P лярного к оси S и свободно вращаю-
Фиг 2. щегося вокруг нее. В этом случае
имеем А — ml2, г = I, поэтому уравнение движения (8) тотчас же принимает вид (8'); из сравнения уравнений (8) и (8') вытекает справедливость сказанного выше.
Длина /, определяемая из равенства (9), называется приведенной длиной физического маятника.
Обозначим через О проекцию центра тяжести G на ось % и отложим на полупрямой OG отрезок OP = I (фиг. 2). Из только что сказанного следует, что точка Р, принадлежащая физическому маятнику, колеблется так, как если бы она не принадлежала этому телу, а представляла собой свободно подвешенную на нити OP массу т, т. е. математический маятник длины OP — I, подвешенный в точке О.
Точки OnP называются соответственно центром подвеса и центром качаний физического маятники, а прямая, параллельная оси о% и проходящая через Р, все точки которой колеблются как Р, называется осью качаний.
S3. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ 15
Заметим еще, что ось качаний всегда находится на большем расстоянии от оси подвеса, чем центр тяжести. Действительно, если введем момент инерции твердого тела A0 относительно оси, проходящей через центр тяжести и параллельной то будем иметь (т. I, гл. X, п. 21)
А = А0 + тг\ откуда на основании равенства (9) следует, что
I = — +г,
тг 1
а так как AJmr всегда положительно, то имеем
1>г.
7. Теорема Гюйгенса. Предположим, что маятник устроен так, что его можно подвешивать также и за ось качаний о. Тогда можно показать, что приведенной длиной опять будет I, т. е. если ось качаний становится осью подвеса, то первоначальная ось подвеса становится осью качаний.
Чтобы доказать это свойство, вычислим приведенную длину I' нашего маятника при втором расположении. Будем иметь
/' = —,== г'+ А,
тг' 1 тг
где А' означает момент инерции относительно новой оси подвеса о и г' — расстояние G от о; достаточно принять во внимание очевидное тождество 1 — г-\-г', чтобы придать этой формуле вид
If = I-T +
т(1 — г)'
Ho из выражения для I предыдущего пункта следует, что
/_г== Al
или
Следовательно,
т (I — г)
V = L
как мы и утверждали.
Обратно, если маятник колеблется одинаково при любой из двух параллельных осей подвеса (расположенных в одной и той же плоскости, но с противоположных сторон и на различном расстоянии от центра тяжести), т. е. если приведенные длины Inl' совпадают, то их общая^ величина будет равна расстоянию между обеими осями (теорема Гюйгенса).
16
ГЛ. VII. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ
Действительно, из соотношений
следует, что
(/_ г) г = (/—/) г',
или
I {г — г') = г2 — г'2.
А так как, по предположению, расстояния гиг' двух осей от центра тяжести различны, то мы можем обе части равенства разделить на г — г', после чего получим / = /•-)-г', что и требовалось доказать.
8. Экспериментальное определение ускорения g силы тяжести. На теореме Гюйгенса основывается применение физического маятника для экспериментального определения ускорения силы тяжести. Для этого употребляется так называемый оборотный маятник. Он представляет собой физический маятник, с которым соединены две параллельные оси (ребра призм), содержащие в своей плоскости и на различном расстоянии от них центр тяжести маятника; кроме того, оси расположены так, что маятник может качаться около каждой из них совершенно одинаково. В силу предыдущей теоремы расстояние I между обеими осями равно длине математического изохронного маятника, так что продолжительность T одного простого качания при малых амплитудах будет приблизительно выражаться (гл. I, п. 38) так:
Так как IhT легко измеряются опытным путем (/—посредством катетометра, T—путем измерения продолжительности достаточно большого числа качаний), то предыдущая формула может служить для определения g.
9. Опытное определение моментов инерции. Второе приложение теоремы Гюйгенса состоит в практическом определении моментов инерции твердых тел.
Если нужно определить момент инерции твердого тела относительно данной оси і то для этого достаточно заставить его качаться около этой оси.
Обозначая через т' массу тела, через г' — расстояние его центра тяжести О' от оси, через Л—искомый момент инерции, через V — продолжительность одного размаха, будем иметь
отсюда можно получить величину А, если, кроме V, известны т' и г',
§ 3. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
17
Ho определить экспериментально с достаточной точностью величину г' трудно.
Поэтому удобно воспользоваться следующим искусственным способом, позволяющим также избежать определение величины т'.
Свяжем с данным телом неизменно вспомогательную массу т", равномерно распределенную около оси ?, и заставим качаться эту сложную систему. Пусть T будет период колебаний этой системы и р. — момент инерции -вспомогательного тела относительно оси %. Неизвестное А можно будет выразить посредством T', T и
Действительно, вводя временно также и расстояние г центра тяжести О всей системы от оси Si, мы будем иметь формулу, аналогичную (4), т. е.
