Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Далее, центр тяжести G" массы т" в силу предположенной симметрии лежит на оси S; с другой стороны (т. I, гл. X, пп. 12 и 10), применяя распределительное свойство и затем правило моментов к точкам G' (с массой т.') и G" (с массой т"), а также к их центру тяжести G, мы непосредственно получим
Внося величину (m'-\~tn")r в выражение для Т, деля полученное при этом равенство почленно на равенство, определяющее T', и возводя потом результат в квадрат, получим
10. Динамические реакции и давления. Для того чтобы определить реакции оси, обратимся к общему случаю движения тела с закрепленной осью, находящегося под действием каких угодно сил (п. 5). Изменяя направления реакций на противоположные, найдем, как мы знаем, давления вращающегося тела на связь. В согласии с общими рассуждениями п. 4, мы ограничимся вычислением для этих давлений результирующей силы — R и результирующего момента — M относительно некоторого центра О, который мы предположим здесь неподвижным и лежащим на оси вращения твердого тела |. Более того, отвлекаясь от статических составляющих R, М, мы будем рассматривать исключительно динамические составляющие — RM),— определяемые из равенств
где производные по времени берутся относительно осей, неизменно связанных с телом (подвижных). Таким образом, дело сводится
m'r' = (m' -f- m") г.
2 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита в У. Am а льд и
18
ГЛ. VII. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ
к фиксированию в твердом теле этих осей и к проектированию на них двух предыдущих уравнений.
Ho прежде чем производить эти формальные выкладки, отметим одно непосредственное следствие, которое можно вывести из второго основного уравнения (5). Именно, принимая во внимание второе из уравнений (6), напишем второе основное уравнение (5) в виде
M = — Af + = — Af -f М№.
Припоминая, что результирующий момент Mi всех реакций относительно неподвижной оси I должен равняться нулю, так как речь идет о силах, приложенных в точках оси рассматривая эту ось как неизменно связанную с твердым телом и обозначая ее в соответствии с этим через х, заключаем, что в любой момент должно быть
М« = —Af*+^ —0;
т. е. при движении собственно динамическая составляющая результирующего момента реакций относительно закрепленной оси остается равной результирующему моменту активных сил.
Наконец, то же заключение неявно вытекает и из выражений составляющих R(d), Mw, которые мы здесь и подсчитаем. С этой целью достаточно спроектировать уравнения (6') на подвижные оси, которые, как уже было сказано, мы представляем себе выбранными таким образом, чтобы ось х совпадала с закрепленной осью вращения 5.
В силу этого проекции угловой скорости О) сведутся к р, О, О, тогда как проекции и, v, w скорости поступательного движения вследствие неподвижности начала О будут равны нулю. Следовательно, общие формулы (29'), (30') п. 15 гл. IV для проекций количества движения Q и результирующего момента количеств движения К дадут выражения
Qa = °> Qy- — mzQp, Qz = ту0р\
Kx = Ар, Ky=- С'р, Ks=- В'р,
где, как мы уже знаем, через т, обозначена масса твердого тела, через А — его момент инерции относительно закрепленной оси, через В', С' — соответствующие произведения инерции и через у0, Z0— вторая и третья координаты центра тяжести. На основании равенства Kx = Ap и принимая во внимание совпадение осей * и Ц, можно написать уравнение движения (7') в виде
Ap = Mx- (7")
после этого, проектируя уравнения (6') на подвижные оси и исключая (на основании рассуждений п. 4) р посредством (7"), мы получим искомые выражения проекций Rw и через проекции угловой
§ 3. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ 19
скорости р, а также через структурные постоянные твердого тела и осевой момент внешних сил:
R*; = о, 1
RV = Мх+у0р*),
R'zd) = m(^- Mx- г0р2);
= Mx, )
= - M* + Brр\ .
= - IfM-~с'р2-
Первое замечательное следствие из этих формул мы получим, применяя их к твердому телу, у которого закреплена одна из главных центральных осей инерции.
В этом случае имеем В' — С' = 0 (так как ось х для твердого тела есть главная ось инерции) и_у0 = г0 = 0 (так как центр тяжести находится на оси я); из предыдущих формул видно, что результирующая Rf^ динамических реакций равна нулю, а соответствующий результирующий момент сводится к своей осевой составляющей MJ,. Поэтому, возвращаясь к полным реакциям, на основании уравнений (5') найдем
R = -R, M = - MlJ-MzIi.
Таким образом, если примем во внимание, что в статических условиях имеем Mx = 0 (т. I, гл. XIII, п. 8), то можно сказать, что для твердого тела, вращающегося даже неравномерно вокруг своей главной центральной оси инерции, давление оси на связь зависит от внешних сил так же, как и в статических условиях.
В более общем случае, если твердое тело закреплено вдоль главной оси инерции относительно произвольной точки О (каково бы ни было положение центра тяжести) и, - следовательно, если мы имеем В' = C' — 0, остается в силе только второе из только что полученных уравнений, а на место первого надо будет подставить соответствующее уравнение из системы (5'), т. е.
