Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 8

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 230 >> Следующая


пхп = H1O1O — Cp1 -j- ? 4" UOn = ® — «і,

получим

V2 = г2ср3 -(- X2®1 -j- 2/-Хф<р! cos (с? — Cp1); (11)

теперь для живой силы T двойного маятника получаем выражение

T = і Л ер9 +ер2-f- y'hv2. (12)

Что же касается действующих сил, то ограничимся наиболее есте-

ственным случаем, когда двойной маятник находится под действием только силы тяжести. Речь идет, следовательно, о консервативной силе, имеющей потенциал

U = M^gz1 4- mgz,

где

Z1 = rx COS CO1, Z = X COS CO, -j- Г COS CS.

Вставляя значения Z1 и z, находим для U выражение через ср и Cp1 U = /TCjgT1 cos Cp1 nig (X cos Cp1 -j- г cos CS),

mgr sines, Q1 = -= — (m/! + mX) ^sincp1. (13)

Теперь мы имеем все необходимое для того, чтобы дать явную форму уравнениям движения тяжелого двойного маятника (10).

Отказываясь здесь от интегрирования этих уравнений, мы ограничимся приложением их к разбору одной частной задачи, а именно к отысканию условий, при которых оба маятника движутся с постоянной разностью фаз, т. е. так, как если бы они составляли одну неизменяемую систему.

Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно, чтобы из уравнений • движения двойного маятника в лагранжевой форме в любой момент во время движения получалось Cp1 = Cp —j- ф (где ф яв const), если только это условие было удовлетворено в начальный момент. Далее, выражая, что уравнениям (10), после приведения их к явному виду посредством соотношений (11), (12), (13), можно будет удовлетворить, если положить В НИХ ^1 == ср ф, мы увидим, что для того, чтобы оба маятника колебались с постоянной разностью фаз, необходимо и достаточно, чтобы ф имело величину

откуда

Q=W-
§4. ДВОЙНОЙ МАЯТНИК

23

нуль и чтобы удовлетворялись тождественно два уравнения

[A -j- mr (г -}- X)] ср mgr sin ® = О,

[/I1 -f- тХ (/• 4- >-)] ® + {т\Гх -J- ml) g sin ® = О,

каждое из которых имеет форму уравнения колебаний простого маятника (гл. I, п. 34); ясно, что для этой цели необходимо и достаточно, чтобы тождественно имело место соотношение

A -j- mr (г -f- X) mgr /I1-I-WX(Z--I-X) mlrl -у т\

:0. (14)

Этому условию, заключающему в себе только структурные элементы (геометрические и материальные) двух тел S1 и S, составляющих двойной маятник, можно придать более простой вид, если рассматривать оба эти тела как два физических маятника с осями подвеса (I1 и а и ввести соответствующие приведенные длины I1 л I (п. 6), определяемые соответственно равенством

Zi = -A-

Ttl1T 1

и, так как А есть центральный момент инерции, равенством

I = J-Jrr,

тг '

При этих обозначениях условие (14) постоянного совпадения фаз двух маятников, разрешенное относительно X, принимает вид

! _ h-l

mi T1

когда масса т второго маятника ничтожна по сравнению с массой Tti1 главного маятника. Это условие приближенно сводится к равенству

X = Z1-/.

Замечательный пример двойного маятника мы имеем в колоколе. При исследовании особенностей поведения одного колокола Вельт-ману пришлось развить предыдущие теоретические выводы '). В 1876 г. в Кёльне имел место случай, на первый взгляд очень странный, — не удавалось заставить звонить большой колокол, только что подвешенный тогда на башне собора: когда пытались звонить, язык совершал относительно колокола столь малые колебания, что не удавалось произвести удара, хотя язык и был достаточно длинен

1J Weltmann, Ober die Bewegungeiner Glocke, DingIers Polyt. Journal, т. 220, 1876.
24

ГЛ. VII. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ

для того, чтобы достать до стенок колокола. Вельтман на основе предыдущих рассуждений установил, что для этого колокола I1— / = 65,3 см и X = 66,7 см, так что при ничтожности массы языка по сравнению с массой колокола приближенное равенство фаз для колокола и языка было обнаружено из совпадения, хотя и грубого, I1 — I с А.

Другой пример применения в технике тяжелого двойного маятника осуществляется плавающими маяками, у которых главным маятником является поплавок, а вторым маятником — фонарь.

§ 5. Движение, параллельное плоскости. Трение скольжения и качения

12. Общие соовражеиия. Предположим, что на твердое тело 5 наложены такие связи и на него действуют такие силы, что оно движется параллельно некоторой неподвижной плоскости те. Этим мьі хотим сказать, что всякое плоское сечение тела S, которое вначале параллельно те, должно оставаться таким же во все время движения. В силу предположенной твердости тела 5 очевидно, что в таком случае движение твердого тела будет однозначно определено движением какого-нибудь одного из этих плоских сечений. Следовательно, достаточно рассмотреть движение одного из них, например того, которое содержит центр тяжести G тела S; при этом ничто не мешает принять за плоскость те неподвижную плоскость, в которой движется это плоское сечение, содержащее центр тяжести.

Таким образом, мы видим, что тело 5 будет обладать тремя степенями свободы, так как за параметры, определяющие положение тела 5, можно принять координаты S0, т(0 центра тяжести G относительно неподвижных осей QS-Tl в плоскости те и угол в, который ориентированная прямая, неизменно связанная с S и лежащая в плоскости те, образует, например, с осью ?.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed