Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
R==- R 4- RW.
Если, далее, предположим момент M внешних сил относительно точки О равным нулю, то из уравнения (7") увидим, что движение твердого тела будет равномерным вращением, и, с другой стороны, из выражения результирующего момента M реакций найдем, что этот момент равен нулю. Поэтому реакции, испытываемые твердым телом вдоль оси, эквивалентны одной силе, приложенной в О.
2*
20
ГЛ. VII. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ
Отсюда (как в этом легко можно было убедиться и ранее из основных уравнений и как это будет показано в явном виде в п. 12 следующей главы) следует, что равномерное вращение твердого тела сохранилось бы неизменным даже и тогда, когда ось х (главная ось инерции) оказалась бы закрепленной вместо двух или большего числа точек только в одной точке О (через которую она проходит).
§ 4. Двойной маятник
11. Двойным маятником называют систему с двумя степенями свободы, которая получается в результате соединения двух маятников посредством различных связей (твердых, упругих, электромагнитных и т. п.). С этими системами возможны различные интересные опыты. В частности, малые колебания двойных маятников в окрест-ности их положения устойчивого равновесия дают очень наглядное представление (механические модели) важных оптических и акустических явлений: интерференции и биения (см., в частности, упражнение 6 предыдущей главы).
Мы ограничимся здесь рассмотрением так называемого вертикального ’) двойного маятника, который можно схематически осуществить следующим образом.
К тяжелому твердому телу S1, которое может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси Ci1, присоединяется другое тяжелое твердое тело S, которое в свою очередь может вращаться вокруг оси а, неизменно связанной с5( и параллельной at. При этом предполагается, что плоскость двух осей A1 и а содержит центр тяжести G1 тела S1 (основной маятник) и вертикальная плоскость, перпендикулярная к A1 и проходящая Фиг. 3. через G1, содержит центр тяжести G тела 5
(второй маятник).
Очевидно, что речь идет о системе с двумя степенями свободы. Обозначим соответственно через О, O1 точки пересечения осей a Via1 с указанной выше перпендикулярной к ним плоскостью, проходящей через G и Gj (плоскость прилагаемой фигуры 3). За обобщенные координаты двойного маятника мы примем углы ср и Cp1 отклонения от вертикали отрезков OG и O1G1, измеряемые в одном и том же направлении от нисходящих вертикалей, проходящих через точки
О и O1.
Так как имеется в виду изменяемая система с двумя степенями свободы, то два дифференциальных уравнения, необходимых для
!) Более обширное исследование этого класса приборов можно найти у Н. Bouasse, Pendule, spiral, diapason, т. II, Paris, 1920, гл. XIII.
§ 4. ДВОЙНОЙ МАЯТНИК
21
определения движения двойного маятника, можно было бы вывести из основных уравнений, замечая, что для системы тел 5, S1 сохраняет свое значение теорема об осевом моменте количеств движения относительно ОСИ O1
dKa
-IT==m^
С другой стороны, ко второму маятнику 5, вращающемуся вокруг оси а, которая перемещается параллельно самой себе, можно было бы применить теорему моментов в скалярной форме относительно этой оси а, вытекающую из уравнения (7) п. 17 гл. V. Мы обратимся, однако, к уравнениям Лагранжа, которые здесь имеют вид
dt di d<t dt a<ft д-ц ^
где, как мы знаем, Т, Q, Q1 обозначают соответственно живую силу двойного маятника и составляющие активных сил по лагранжевым координатам ® и S1 (обобщенные силы). Следовательно, все сводится к выражению через (р и ®, и через их производные по времени живой силы T и последующему определению аналогичных выражений для обобщенных сил Q и Q1.
Полагая
O1G1 = T1, OG = г, O1O = X,
заметим прежде всего, что живая сила тела S1 определяется выра-
жением (гл. IV, п. 10)
1 . '2
-JAtPi ’
где через A1 обозначен момент инерции тела S1 относительно неподвижной оси аи в то время как для определения живой силы твердого тела 5, вращающегося около подвижной оси а, совершающей поступательное движение, надо обратиться к теореме Кёнига (гл. IV, п. 8). Если обозначим через m массу тела 5, через А — его момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести и параллельной а, и через V — скорость его центра тяжести G, то эта
теорема дает следующее выражение для живой силы тела 5:
Y mv2 + -і A<f,
так что остается вычислить только скорость v. Эта постоянная скорость равна сумме абсолютной скорости точки О и относительной скорости точки G по отношению к О *). Обе эти составляющие скорости, перпендикулярные в плоскости фигуры соответственно к O1O и OG, определяются по величине и по знаку (относительно
*) То есть скорости точки G по отношению к осям неизменного направления с началом в точке О. {Прим. ред.)
22
ГЛ. Vir. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ
положительных перпендикуляров W1 и п к O1O и OG) выражениями и /•«. Поэтому, складывая геометрически эти скорости и принимая во внимание, что с точностью до чисел, кратных 2гс, имеем
