Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Случай LJE2 = B2, E-B = 0.
Выберем E = &ех, В = ееу. Тогда отличными от нуля будут лишь компоненты тензора энергии-импульса T00 = T0z = Т" = еа/4л и, следовательно, TilaTci v = 0.
Случай 2. (E2 - В2)2 + (Ё • В)2 Ф 0.
В решении 4.5 показано, каким образом векторы E vi В можно сделать параллельными. Пусть E = Eex, В =Bex. Тогда отличными от нуля будут лишь компоненты тензора энергии-импульса
7-00 = _ Тхх в Туу e 7•<« = (1/8п) (?2 _J_ ?2)>
T^Tav = S11v [?а + В2]2/ (8л)2 = S^ [(?2 - ?2)2 + 4?2?2]/(8n)2 = = o^v [(?а - В2)2 + (2Е-?)2]/(8л)2.
Решение 4.18. Если Uli — 4-скорость проводящего элемента, то в системе отсчета, связанной с носителями зарядов, электрическое поле E в проводящем элементе равно Eil = FilvUv. Вектор, который в системе покоя носителей заряда равен J, имеет компоненты Jv--sCUilJvUv. Следовательно, закон Ома можно записать в виде
J» + uiXJvuv = aFiXvuv.
Поскольку это тензорное уравнение, выполняющееся в системе покоя проводящего элемента, оно должно быть справедливо во всех системах отсчета.
Решение 4.19. Из задачи 4.7 известно, что для частицы с зарядом q
J» (х) = q J б* (х - z [т]) Ф dx, поэтому действие можно записать в виде
J L dx = q J ыМ д dx — m J dx, ГЛАВА 5
193-
а функцию Лагранжа —в виде
L = qui1 A11 -т{— rj a?«a«?)'<'..
Координаты Zk, задающие положение частицы, зависят от параметра т, и
dL QL , .
Sjd^m=шр = W+mu^
Из уравнений Эйлера — Лагранжа находим
Um) = = ^=^4^-
Следовательно, уравнения движения можно представить в виде т dux/dx = q (Л^ A^v.) U^,
или
dpjdx =ZqFbilUV.
Решение 4.20.
а) Зная, каким образом тензор Максвелла F^v выражается через E и В (см. введение в гл. 4), и используя определение дуального тензора *F (см. задачу 3.25), получаем
^P = IeaPftvFliv =
"О -Bx-Bя — В'~
= Bx О Ег —Еу
Ву -Ez 0 Ex
В' ЕУ—ЕХ 0 _
Следовательно, переход F->*F соответствует замене Е-*- —В и В-+Ё.
б) [Примечание. Поскольку * (* F) = — F, то оператор * перехода к дуальному тензору обладает такими же алгебраическими свойствами, как и *i, поэтому е*а? можно представить в виде Fcosa + * Fsina.] Как показано в задаче 4.9, уравнения Максвелла в отсутствие источников имеют вид
*/=>\v = 0, ^viv = O.
Ясно, что преобразование F -*- * F оставляет эти уравнения инвариантными, т. е. если F —решение уравнений Максвелла, то и »F —также решение уравнений Максвелла. Так как уравнения линейны, то линейная комбинация, например e*aF, должна также удовлетворять уравнениям Максвелла. 7 Заказ 110 194
РЕШЕНИЯ
Решение 4.21. Поскольку при преобразовании Ё^-В, В-+Ё
тензор Максвелла F переходит в дуальный тензор * F, то вектор К можно было бы интерпретировать как «ток проводимости магнитного заряда» (взятый со знаком минус). Заметим, что в силу двойственности отношения F*-**F из уравнения V-B = — 4jx/C° следует существование магнитных монополей.
Решение 4.22. В 4-мерном евклидовом пространстве, описываемом декартовыми координатами х' (г = 1.....4), рассмотрим
функцию G = 1/2 (*02- Дифференцируя ее, можно доказать непо-
всюду, за исключением, быть может, точки Xi = O.
Если ввести сферические координаты в 4-мерном пространстве
Xi = U cos V, г = U sin V (О ^U coo, O==SV==Sjx),
O==Sfts=Six, 0<ф==2 2л,
то G = U~2. Интеграл ^ V2G d*x нетрудно записать в этих координатах. Если в качестве объема в четырехмерном пространстве выбрать внутренность некоторой гиперсферы U < U0, то интеграл по объему можно преобразовать в интеграл по 3-мерной гиперсферической поверхности U = U0.
Следовательно,
V2G = — 4Jx2S (я1) б (х2) б (я3) б (Xі),
и G можно использовать как функцию Грина при решении 4-мерного уравнения Пуассона V2CD = — Anf(Xi):
Предположим, что функция f каким-то образом определена при мнимых ?4. Введем новые переменные ?4 = ix4 н Q =Xi (і =» = 1, 2, 3) и определим функцию S так, чтобы
средственно, что
V2G = ^d2Gfdxi2 = 0
JT Л 2я
Уравнение
fa') = S (Xі). V2W = -4 Uf(Xi) ГЛАВА 5
195-
при этом перейдет в уравнение
? Ф = -4^5(^1, я2, X3, t).
Решение этого уравнения дается приведенным выше интегралом. Произведя в нем замену переменных, получаем
Ф|
,(X /)--' Г S (Ibd3Xdt
п ^ Tlnv (Xv-Xv) '
где интегрирование по t производится ОТ І OO до — і оо. Предположим, что функция источников S(x, t) в уравнении Даламбера определена и не имеет полюсов на вещественной оси t при t<t. В комплексной плоскости t определим 5 при помощи аналитического продолжения. Контур интегрирования С выберем так, как
t-\x-x\
IlTJl
а
-Ret
С' Amt
і*J х *
0
Фиг. 10.
-Ret
показано на фиг. 10, а. Граничные условия определяются тем как должен деформироваться контур С, чтобы охватить вещественную ось, на которой задано распределение источников S (х, t). Полюсы 1 /(Xtl — Xм) (Хц — Xtl) функции S расположены в точках
t = t± |х —х|. Запаздывающие граничные условия соответствуют деформации контура С в контур С', изображенный на фиг. 10, б. В этом нетрудно убедиться, если воспользоваться приведенным выше результатом для решения уравнения
