Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
181;
4 вектора, образующих ортонормированный базис. Но тогда
0 ф е0 А ех Д е2 Д ез = (K1U + P1V+Y1W + S1X) А
A(a2u+...)A(a3u + ..-)A(a4U + ...) —(uAvAwAx),
поскольку члены, содержащие по крайней мере 2 одинаковых базисных вектора, обращаются в нуль. Следовательно, uAvA AwAx=TfcO. Поскольку произведение uAvAwAx полностью антисимметрично по всем «индексам» и кратно e0f\eif\e2f\e3> то оно может быть только пропорционально тензору є (см. задачи 3.20, 3.21).
Решение 3.25.
= у E^Faf5, (1)
*F|xv = TWT)vTeam?/7a? — eV^Fa? =
= і ( WfVV) fa? = Y lWv (ifV^a?) = «yW**. (2)
* (* ^v) = Y ^vap (* = T etlva?e<*?JUT^a. (3)
Ho
EtlvaVa = -26 Га
(это соотношение служит определением символа 6?- Необходимо убедиться в том, что с обладает следующими свойствами:
1+1, если А = ц, a = v; —1, если A = v, сг = ja; 0 во всех остальных случаях.
Тогда
C =
и
*(*Я") = - Jj- S^Fka = -~(F^v-F^) = — F»v.
Решение 3.26. По определению дуального тензора
* F«?Y = VkEka^
Поскольку индексы }1 и 1 отличны от индексов а, ? или у, то
pta?v _ b|ja?Yb —182
РЕШЕНИЯ
где С —некоторая постоянная. Просуммировав это соотношение по A и |i, использовав ответ задачи 3.22 и то, что б? = 4, мы найдем значение постоянной C =—6. Окончательно получаем
* Va?Y * Fa?v = -66^"% = -WaV0.
Решение 3.27. Заметим, что тензор бр.'.'.'о антисимметричен и по верхним, и по нижним индексам. Это утверждение следует из того, что определитель изменяет знак при нечетных перестановках строк или столбцов. Поскольку он антисимметричен по верхним индексам, то среди них не может быть повторяющихся. Если же число верхних индексов более четырех, то среди них непременно найдется по крайней мере один повторяющийся индекс и тензор должен быть тождественно равен нулю.
Решение 3.28. Индексы р, v, х, К должны принимать различные значения из р, а. При заданных р, а индекс р. можно положить равным индексу х (тогда индекс v совпадает с индексом К) или положить р, равным Я (тогда v совпадет с х). Все остальные комбинации индексов соответствуют нулевым компонентам, поскольку e|Wp(T — полностью антисимметричный тензор. Кроме того, в силу той же антисимметрии при ц = х, V = X возникает минус. Таким образом,
BlivpoBj^p0 = С (mi - 6Ж) ^ CS^,
где С —некоторая постоянная. Суммируя по ц, X и v, х, а также используя результаты, доказанные в решении 3.22, получаем, что С = —2. Следовательно,
В общем случае
---2 Btlvp еЪ<рСТ-
|мАт _ ЫмЛТ
ь bIxpa — uIXpai
Hv^T „ _ см/Л
ь bIJtpt — uIxp •
Решение 3.29. Если = A^B^, то
det
pa? pay рай
AP Aa A8 ?? BV B6
= 0,
поскольку первая строка представляет собой линейную комбинации двух остальных строк (первая строка =—1I2AaX третья строка +1I2BaX вторая строка). Раскрывая определитель, получаем соотношение, которое требовалось доказать.ГЛАВА 1
183;
Решение 3.30. При каждом значении ц существует 3! перестановок индексов ос, ?, уфц, которым соответствуют ненулевые компоненты тензора е. Якобиан изменяет свой знак так же, как и тензор е, поэтому правильный ответ мы получим, взяв по одному элементу, порождающему каждую перестановку, и введя множитель 3! в знаменатель:
d320 = [d(a, b, с)/д(а, b, c)]dadbdc = dadbdc, Ci3S1 = - [d (const, b, с)/д(а, b, c)]dadbdc = 0, d3S2 =— [d (a, const, с)/д(а, b, c)]dadbdc = 0, d323 = — [d(a, b, const)/d(a, b, c)]dadbdc = 0.
Решение 3.31. Пусть координаты с чертой соответствуют ортонормированному реперу с метрикой Тогда dV ==#*= =det (дх/дх) dix, поскольку при переходе от одной системы координат к другой элементарный объем умножается на якобиан. Но
-е=- det Ы = - det (-g -g- v) = Idet {дх/дх)? (- det г,), поэтому
(—Я)'/.== det (дх/дх)
и, следовательно,
dV = (—gyt*d*x.
Решение 3.32. В сопутствующей локально ортогональной системе отсчета dsV = dxdydz. Требуется построить инвариантную величину, связанную с элементарным объемом. Начнем с элементарного объема diV = (—g)',s dx dy dz dt — скаляра в любой системе отсчета. Умножив его на и°/и° = u°/(dt/ds), получим
d*V = [(— gf!' и0 dx dy dz) ds.
Поскольку d*V и ds —инвариантны, то член в скобках также должен быть инвариантным. В сопутствующей ортонормированной системе отсчета он сводится к dxdydz, поэтому
d3V = (— g)lf' и0 dx dy dz.
Решение 3.33. Посколькуконтравариантный вектор импульса Pa преобразуется так же, как-к0итравариантный вектор перемещений X?, то 4-мерный элементарный импульс должен иметь такой вид, как инвариантный элемент 4-объема (задача 3.32), поэтому
d4P = (—gyi> dP* dpy dP* dP*.184
РЕШЕНИЯ
Элемент 3-объема мы умножим на б-функцию, сосредоточенную на массовой поверхности, и проинтегрируем по Pt:
dzP = J б [(— galiPaPty'' - т] (— g)'/. dP* dp* d/>< = = (- dPx dpy dP*x[-j(-gafiP«P»)-lb ¦ ZgtaPaY (здесь мы воспользовались тождеством
I6VWdx=Wm-
где X1- нуль функции /). Преобразуя член в скобках, находим d3P = (— g)l'> dP* dp« dP* [^) ¦
Заметим, что в локально ортонормированной системе отсчета, сопутствующей частицам в импульсном пространстве, правая часть, как и следует ожидать, упрощается: