Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
dsP = dPx dpy dPz.
Иногда d3P перенормируют, вводя множитель I/т. В таком виде инвариантный элемент объема пригоден и для частиц с нулевой массой покоя.
Решение 3.34. Ясно, что число частиц N инвариантно. Необходимо доказать, что элемент dx dy dz dPx dpy dPz фазового пространства также инвариантен. Если частицы движутся с 4-ско-ростью и относительно системы координат хуг, связанной с наблюдателем, то по его измерениям (см. задачу 3.32) они занимают инвариантный элемент 3-объема
d3V = (— g)1/a и0 dxdydz
и инвариантный элемент объема в пространстве 3-импульсов (см. задачу 3.33)
d3P = (—g)1'' dPx dpy dPz .
Поскольку наблюдатель производит измерения в ортонормированной системе отсчета, то —g=l, и0 = — "о и
dx dy dz dPx dpy dP* = d3V d3P.
Инвариантность правой части очевидна.
Решение 3.35.
а) Выберем 4-объем, ограниченный «крышками» х"А, х%> х\ и «боковыми» гиперповерхностями, находящимися на бесконечном расстоянии от начала координат. По теореме Гаусса
О = $ Ja,a = $ Ja,adt dx dy dz = ^ Ja d32a. ГЛАВА 1
185;
Потоком через боковые поверхности можно пренебречь, поскольку «стенки» объема движутся к бесконечности. Следовательно,
0= 5 J*d*2a+ $ ^d3Sa = \ j°dxdydz- \ Pdxdydz. 4 4 *Ъ А
б) Плоскости л:0 = Const и X0' = const, пересекаясь, образуют две 4-мерные области: I и II. Замкнем эти области на бесконечности пространственными гиперповерхностями и рассмотрим заключенные в них пространства. По теореме Гаусса для области I
O = Paitt^Q = O= 5 J»d»S0- I P'd320,
I UO 1л/
или
$ Pdxdydz= $ P' dx' dy' dz'.
Аналогичный результат мы получим и для области II. Чтобы доказать утверждение задачи, нам останется лишь сложить правые и левые части соотношений, выведенных для области I и II в отдельности. ГЛАВА 4
Решение 4.1. Предположим, что проволока совпадает с осью г цилиндрической системы координат и несет заряд с собственной ПЛОТНОСТЬЮ P0. В системе ПОКОЯ проволоки J0 = Po и J = 0. По теореме Гаусса единственная ненулевая компонента тензора электромагнитного поля равна
Er = р0Л / 2nr = F0r,
где Л —площадь поперечного сечения проволоки. Если проволока движется в положительном направлении оси г со скоростью ? относительно лабораторной системы отсчета, то преобразование Лоренца A°'o = у, Л°'г = ?v дает
^0'= YPo, J" = ?VPo» Вф = рг'Ґ = Лг'0 F0r = ?Yp0Л/2яr, Er' = ур0Л/2яг
(Ф — «физическая компонента», т.е. компонента, связанная с единичным. вектором еф). Если на поле, создаваемое проволокой, наложить поле (создаваемое аналогичной проволокой, которая покоится в лабораторной системе отсчета) с плотностью заряда-YPo,
то полная плотность заряда и электрическое поле E взаимно компенсируются. Ток
l = \ J*'dxdy = ?YPo^ создает только магнитное поле
Вф = Ц2пг.
Решение 4.2. Инвариантность величин B2-E2 и B-E следует из того, что они равны скалярам:
Ё-В = \*Fa^ = ± SiimtiF^ = det (P").
Любой инвариант должен сохранять свое значение при поворотах в 3-пространстве. Следовательно, инварианты можно построить лишь из скаляров E-В, E-E и В- В. Если бы число ГЛАВА 2
15Э
независимых инвариантов было равно 3, то, например, величина В • В была бы инвариантной. Но это невозможно, поскольку Б2, вообще говоря, изменяется под действием преобразования Лоренца.
Решение 4.3. В любой системе отсчета угол между электрическим вектором и вектором магнитного поля определяется соотношением
cos •&„ = ?• ?/|?||?|.
Но скалярное произведение E-B инвариантно (см. задачу 4.2), а произведение | E11 В | неинвариантно. Следовательно, угол ^0 может быть инвариантным в том и только в том случае, если E-B = 0, т. е. если Ф0 = л/2.
Решение 4.4. Лоренц-инвариантность величины 2 — | S |2 мы докажем, если нам удастся представить ее в виде функции от инвариантов E2-B2 и E-B:
64л (f2 -1 S |а) = (E2 + В2)2 -4 (ExB)2 =
= [Ei + 2E2B2 + Bi]- 4 [E2B2 - (Ё- В)2] = = Ei- 2 E2B2 + ВІ + 4(Е-В)2 = = (E2 -В2)2 + 4 (E-B)2.
Решение 4.5. Пусть V = а (ЕхВ). Тогда
EY1 = Ё+v XB = (I- аВ2) Ё+а(ЁВ)В, В'у-1 = В~ОХЁ = ( 1 -аЕ2)В + а(Ё-В)Ё.
Случай 1. Если E-B = 0 и |?| = |?|, то преобразование эквивалентно красному смещению плоской волны и векторы EnB невозможно сделать параллельными.
Случай 2. Если E-B = O, но E2 фВ2, то, выбрав а = = 1/max (E2, В2), обратим в нуль либо E', либо В'. Тогда Е'хВ' = 0.
Случай 3. Если Ё-Вф0, то векторы Ё' и В' можно сделать параллельными, выбрав параметр а так, чтобы он удовлетворял соотношению
а2 [(? • В)2 - E2B2] = 1 - a (E2 + В2).
Тогда
V __ а (Ёх В)__а (ЕхВ)__Ех~ЇЇ
1+1)2 — 1+«a [(ZfxB)P ~~ l+a2[?2?2_(?.?)i] ~~pt + B*' 188
РЕШЕНИЯ
Решение 4.6. Если Е2 — В2>0, то, выполнив преобразование Лоренца с V = Ex В/E2, получим В' = у (В — и X ?) = 0. При Е2 — В2<.0 к аналогичному результату приводит преобразование Лоренца с V = — ВхЕ/В2. Если E2-B2 = 0, то |?|=|?| после любого преобразования. Преобразование с v=a(ExB) (см. задачу 4.5) уменьшает величину векторов ? и В на множитель
у (1 - сiE2) = у (1 - V) = [(1 - 0)/(1 + о)]1/-.
