Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
В пределе при V -> 1 величину векторов E и В можно сделать сколь угодно малой.
Решение 4.7. При интегрировании выражения для Jv- воспользуемся соотношением
$ F(T) б [t- Z0 (т)] dx = \F(x)8[t-Z0(т)] (dx/dt)dt = F (х [/])/«"
и получим
^ = S-F-e^[x-zk(t)l
к k
Нетрудно видеть, что выражение для временной и пространственных компонент оказываются правильными.
Решение 4.8. Для решения этой задачи полезно ввести трехмерный полностью антисимметричный тензор EiJk (с нормировкой е123= 1). Заметим, что
рч = E^Bk, Bi = ~ EilkFjk,
(QxV)I = EiJkUlVk.
Запишем покомпонентно «электрические» уравнения Fiiviv = AnJv-.
/гор р = /ж t = у. E = 4лJ° = 4яр,
Я», р = F4j + Fi\ 0 = EiJkBkj - Е\ „ = 4яJ1.
Последнее уравнение совпадает с 1-й . компонентой векторного уравнения
VxB-E = 4nJ.
Рассмотрим теперь «магнитные»^уравнения. Предположим сначала, что индексы а, ? и у соответствуют пространственным компонентам. Пусть а=1, ? = 2, V = 3. Тогда
Fn, з + F31, 2 + F28i 1 = B\s+B2t2 + B\1 = f-B = 0. ГЛАВА 5
189-
Пусть теперь а = 0, а ? и у соответствуют пространственным компонентам. Тогда
Fou + Fj0, , + Fif, о = Eij +Ejtl + EijkBk =
= EiJtt (V X Ef + EljkBk = Q. Умножая это уравнение на гі/т, получаем
VxE+B= 0.
Решение 4.9. В задаче 4.8 было показано, что тензорное уравнение
Fliv, V = O
эквивалентно «электрическим» уравнениям Максвелла (в вакууме). Что касается магнитных уравнений, то
* Fiiv. V = Y (Fa^n. V = Y f^ Veaptiv =
= I^fap1 Vje^1
поэтому уравнение
v = 0
эквивалентно уравнению
Faf,, v + Fva, ? + Fflv, а = 0.
Решение 4.10. При (л = 0 уравнение для силы Лоренца принимает вид
dP°/dT = eF0iut = eE'yVi.
Поскольку dx = dt/у, то его можно преобразовать следующим образом:
dP°/dt = eE'vt.
Это уравнение отличается от нерелятивистского уравнения лишь тем, что P0-релятивистская масса-энергия.
Решение 4.11. Пространственные компоненты уравнения для силы Лоренца имеют вид
Ж= У ЧГ = Ч^» = Л + qFVuj = CriEi + qy^kBkVj, поэтому
dP/dt = q{E + vxB).
Решение 4.12. От нуля отличны лишь компоненты F1y = Fui =E тензора F11v. Начальная 4-скорость иа частицы обладает компо- 190
РЕШЕНИЯ
нентами (y, yv, 0, 0), где y = (1 — Из уравнений для силы Лоренца
dP^/dx = qF\uv при ц = 1 получаем dPx/dx = 0 и, следовательно,
Ux = yv, x = x/yv. Уравнения при ц = 0 и |л = 2
-т- = — Euy,
dr т ' dx т
можно объединить в одно уравнение
dt2 ~\т) и >
допускающее решение
a.-Ysh[fg)x]
(при интегрировании уравнения мы использовали начальные условия, наложенные на компоненты 4-скорости и' и иу). Интегрируя иу по т, подставляя х =Xlyv и используя начальное условие у = О при X = 0, получаем
Решение 4.13.
а) Из уравнения для силы Лоренца (см. задачу 4.11) следует сор = I dp/dt I = qvB,
поэтому
^_ыр_ ты _ ты
qv
q( 1—U2)V* ?(1-u)2^2)Va '
б) Компоненты 4-скорости, измеренные в лабораторной системе координат, равны
и0 = (1 - co2?2)-vs их = (ny(l- (a2R2)~l\ иу = — со* (1 - Oi2R2)-1''. Компоненты, измеренные движущимся наблюдателем, мы найдем, выполнив преобразование Лоренца:
и0' = Y («° - ?«*) = Y(1 - ?o></) (1 - сй2Я2)~Ч где V = (1 — ?2) 2. ГЛАВА 5
191-
в) Поскольку компонента и0' не постоянна, энергия с точки зрения движущегося наблюдателя должна возрастать:
dp_ du0"_ m?toytfy """
dx ~ ~dx~ (1-еo2/?a)v''
В своей системе отсчета движущийся наблюдатель измеряет электрическое поле Е, равное Ey' = — y??. (В этом нетрудно убедиться, выполнив соответствующее преобразование Лоренца над тензором электромагнитного поля Fiiv.) Следовательно, с точки зрения движущегося наблюдателя энергии частицы (производимая над ней работа) должна изменяться со скоростью
dp0' _ „?уиу _ _ тдуиу' _ _ тыуиУ dX (1-0)2^2)1/, (1—coatf2)v»'
Тем самым кажущийся «парадокс» разрешен.
Решение 4.14. Из уравнения для силы Лоренца (задача 4.11) получаем
Поскольку над частицей не совершается работа, то величина
Y = (I-CO^a)-Vs
постоянна. Подставляя dv/dt = — (O2Rert находим q(oRB - qQ/R2 = m(o2R/(l - со2/?3)1/, и, следовательно,
q __to2
т ~ (1 — 0)2^2)1/. (a? _ Q/дз) *
Решение 4.15. Вид тензора энергии-импульса электромагнитного поля приведен во введении к задачам гл. 4. Взяв его дивергенцию, получим
4яГ*», V = F^atyFva+ F»*F\V -1 Fa?F*?. ^ = = FWFvat^Fya (FW - -Fva- ^ = = F^F\ V + у Fva (Fav-» + Fva- V + F^, a).
Пользуясь уравнениями Максвелла для вакуума, заключаем, что Fva^v и члены, стоящие в скобках, обращаются в нуль, поэтому T4wiv = O. Примечание. Если имеется ток проводимости J, то, как нетрудно проверить, ответ задачи переходит в 7>v,v =— FiuxJa. 192
РЕШЕНИЯ
Решение 4.16. След тензора энергии-импульса Tixv электромагнитного поля нетрудно вычислить, если сначала Tixv выразить через компоненты тензора Максвелла:
T^ = (1/4я) (FmFya - і г] »vFa?Fapy
Тогда
7% = (1 /4л) [FWFm -1-4. Fa?F*?) = 0.
Решение 4.17. Достаточно доказать, что это соотношение выполняется в какой-нибудь одной системе отсчета.
