Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
и процессом увеличения крутизны волнового профиля. Действительно, при
указанных условиях снова могут существовать периодические волны
неизменной формы, что объясняется равновесием между этими двумя
эффектами.
Грубо можно представить себе осуществление такого равновесия следующим
образом. Если "основная" (самая низкочастотная) фурье-компонента
волнового профиля есть аг cos кх, то первая гармоника аг cos 2кх
распространяется благодаря дисперсии более медленно. Очевидно, что ее
отставание по фазе соответствует появлению отрицательной гармоники sin
2кх. С другой стороны, легко показать, что сдвиговому искажению основной
фурье-компоненты соответствует появление положительной гармоники sin 2кх.
Это наводит на мысль, что возможно взаимное сокращение появившихся
синусоидальных гармоник, а это приводит к решению типа бегущей волны с
неизменным волновым профилем.
Более строго, мы ищем такое решение с помощью подстановки
dv/dt = - v0dv/dX (98)
в уравнение (96). Здесь у0 является скоростью волны в системе координат
(X, t); следовательно, скорость волны в исходной системе координат (х, t)
равна с0 + v0. Решения полученного обыкновенного дифференциального
уравнения легко находятся. Их совокупность состоит из отдельного
бесконечного семейства решений типа периодических волн и одного
предельного решения. Решения типа периодических волн называются кнои-
дальными волнами, потому что они имеют форму квадрата эллиптической
функции Якоби сп; это обстоятельство было
Часть 2. Нелинейные эффекты
559
Рис. 116. Профили кноидальных волн с длиной к и амплитудой а на воде
глубины h для шести значений ak2/hs:0 (синусоидальная волна), 3, 6, 9, 12
и 15. Снизу таким же образом нарисована уединенная волна, когда ее
эффективная длина к определяется так же, как в равенстве (100).
полезным, когда они впервые были вычислены, хотя и не существенно при
наличии современной вычислительной техники.
Профили кноидальных волн изображены на рис. 116. Для малых значений
ah?lh3 нелинейность вызывает малые отклонения от синусоидальной формы.
Когда ak^lh3 увеличивается, в начальной стадии хорошо видна первая
гармоника (когда гребни становятся острее, а впадины глубже), а за ней
следуют гармоники более высокого порядка. При aV/h3 = 15 периодический
цуг волн почти вырождается в последовательность изолированных "горбов",
разделенных плоской водной поверхностью.
Благодаря этому факту кажется менее удивительным (чем оно могло бы)
существование знаменитого предельного решения уравнения Кортевега - де
Фриза (96):
к = Зу0{сй[у(1;о/ог)1/1!(Х-к0г)]| 2. (99)
Оно описывает не периодическую волну, а распространение одного
изолированного "горба" неизменной формы. В первой половине девятнадцатого
века Скотт Рассел экспериментально обнаружил, что такая "уединенная
волна" при надлежащим образом подобранных длине волны, амплитуде и
глубине воды может распространяться практически без изменений (кроме
очень медленного затухания, вызванного трением о дно). Позднее Релей
нашел решение (99), прежде чем оно вошло в общую
,560
Эпилог
приближенную теорию весьма длинных волн, принадлежащую Кортевегу и де
Фризу. "у
Можно утверждать, что уединенная волна обладает д'лйной X, имея в виду не
пространственный период, а длину промежутка, на котором подъей
поверхности воды превосходит, скажем, 3% своего максимального значения. В
этом смысле
X = 4 (о/уо)1/2ar ch [(0,03) -1/2]f что дает aX2/h3 = 16.
(100)
На. рис. 116 уединенная волна (нижняя кривая) изображена с использованием
этого значения длины волны. По виду она похожа на предельный случай
кноидальных волновых профилей.
Таким образом, влияние дисперсии может противостоять увеличению крутизны
волнового профиля, пока параметр ak2/h? не достигнет предельного значения
(100). Если он выше зтого предельного значения, волновой профиль не может
быть неизменным. На практике передний склон волны становится, как описано
в гл. 2, все более крутым, образуя гидравлический прыжок.
Теперь мы наконец можем более исчерпывающе рассмотреть гидравлический
прыжок, чем в разд. 2.12, и в особенности необходимость с определенной
скоростью избавляться от энергии в процессе его распространения. Для
прыжка, в котором глубина воды увеличивается от постоянного
значения к0
до другого значения hx, требуемая скорость потери энергии на единицу
ширины составляет
р0Ug (ht - А0)3/(%). (101)
Здесь
U = lghx (hx + A")/(2fc0)]1/a (102)
есть скорость распространения прыжка в спокойную воду.
Гидравлический прыжок, интенсивность которого (кг - h0)/h0 меньше, чем
приблизительно 0,3, сопровождается лишь незначительным вспениванием (если
оно вообще возникает), но за ним следует цуг периодических волн со
стационарными относительно прыжка гребнями. Мы исследуем их сначала с
помощью линейной, а потом нелинейной теории.
Вода, следующая за прыжком, движется относительно него со скоростью,
равной в силу закона сохранения массы Uh^!hx. По линейной теории эта
