Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтхилл Дж. -> "Волны в жидкостях" -> 223

Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях — М.: Мир, 1981. — 603 c.
Скачать (прямая ссылка): volnivjitkosytyah1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 217 218 219 220 221 222 < 223 > 224 225 226 227 228 229 .. 242 >> Следующая

Среди подходов к этому хорошо изученному уравнению мы отметим следующий.
Рассмотрим волны, созданные колеблющимся с определенной частотой со0
осциллятором, находящимся в точке х = 0. Предположим, что амплитуда его
колебаний отличается от большого постоянного значения на очень малую
величину, которая периодически изменяется с частотой б, намного меньшей,
чем со0. Это дает условия на осцилляторе - при х = 0 -- в виде
а = со0t, да/дх = - к0 + е ехр (it6), (81)
где частота daldt принимает постоянное значение со0, тогда как амплитуда,
а следовательно, и волновое число - daldx, модулируются с частотой б.
Отклонение фазы а от линейного значения со0t - к0х с точностью до первого
порядка по е должно удовлетворять, уравнению (80), коэффициенты которого
заменяются на постоянные Хат, Хак0 и Хкк0, равные значениям трех вторых
производных от X при со = со0 и к = к0. Решением является линейная
комбинация выражений
ехр [i (i6 - хх)], (82)
где х - один из корней квадратного уравнения
^kkoK2 ~h 2XakoxS -f- Хша062 = 0. (83)
Эти корни могут быть действительными или мнимыми. Их вычисление на базе
приведенных выше данных показывает, что для гравитационных волн на
глубокой воде они действительны при а > 0,054 К и мнимы при а < 0,054 %.
Когда они являются мнимыми, комбинация решений вида (82), которая
удовлетворяет граничному условию (81), имеет вид.
а = соп? - кпх + (Р-1 sh |3х) е ехр [i (t - xf/^1)6], (84)
554
Эпилог
Здесь ?/" - "эффективная групповая скорость" (скорость распространения
амплитудной модуляции), даваемая формулой
и 0 = - ^hhO^ahOi (85)
а р - скорость экспоненциального усиления модуляции с расстоянием,
даваемая формулой
р/б = {Хфф0ХкМ - XlMfVlXhM. (86)
Наличие гиперболического синуса в формуле (84) указывает на то, что
периодическая волна с конечной амплитудой а < <; 0,054 1 на
глубокой воде слабо неустойчива в том смысле,
что чем дальше продвигается волна, тем резче выраженной
становится ее медленная модуляция.
Неустойчивость исчезает при амплитудах выше а = 0,0541. Когда корни
уравнения (83) являются действительными, фаза (84) все еще остается
решением задачи, но величина, определенная равенством (86), становится
чисто мнимым числом. Тогда модуляция распадается на две модуляции с
постоянными и равными интенсивностями, которые распространяются с двумя
различными "эффективными групповыми скоростями" U1 и U2, определяемыми
соотношениями
U-у б = U-Ч + I р I, и-Ч = U-Ч - I р |. (87)
В своих ранних работах по вариационному методу Уизем указал, что одним из
влияний нелинейности на дисперсию может быть такое "расщепление групповой
скорости".
Как показывает рис. 115, в интервале амплитуд а < 0,0541 эффективная
групповая скорость U0 является медленно возрастающей функцией, лишь
немного превышающей значение О,5со0/10, предсказываемое линейной теорией;
параметр 2nU0$/6 возрастает до максимального значения 0,7 и потом спадает
до нуля. Этот параметр есть логарифм отношения глубины модуляции для
точек, соответствующих последовательным максимумам амплитуды волны,
расстояние между которыми равно 2nU04. Таким образом, величина 0,7
означает, что глубина модуляции, связанная с определенным (движущимся)
пиком амплитуды, удвоится приблизительно к тому моменту времени, когда
осциллятор породит следующий пик амплитуды... Интересно, что при
амплитуде, превышающей а = 0,0541, одна модуляция распространяется с
эффективной групповой скоростью U2, близкой к значению, даваемому
линейной теорией, в то время как другая малая модуляция этой основной
волны, обладающей значительной амплитудой, перемещается вперед с
существенно большей эффективной групповой скоростью их.
Часть 2. Нелинейные эффекты
555
а/\
Рис. 115. Волны, порожденные осциллятором, колеблющимся с фиксированной
частотой (Оо и с амплитудой, отклоняющейся от большого постоянного
значения на малую величину, которая изменяется периодически с частотой б,
намного меньшей оз0. Построен график скорости экспоненциального усиления
модуляции р с расстоянием вместе с эффективной групповой скоростью Uо как
функции амплитуды а. При амплитуде, превышающей а - 0,054 К, эффективная
групповая скорость расщепляется на две {U1 и ?72), тогда как (5 спадает
до нуля.
Был проведен ряд более сложных расчетов, связанных со ¦слабой
неустойчивостью волн умеренной амплитуды на глубокой воде. Когда глубина
модуляции увеличивалась настолько, что коэффициенты в уравнении (80)
менялись существенным образом, эти расчеты указывали на измененную форму
модуляции. Грубо говоря, гребни тех волн, амплитуда которых максимальна,
движутся вперед быстрее остальных, что уменьшает длину волны перед
фронтом амплитудного пика и увеличивает ее за ним. Тогда энергия
переносится вперед быстрее за фронтом и медленнее перед ним, что приводит
к сильно локализованному усилению амплитудного пика. За конечное время
•он приобретает заостренную форму, и тогда предположения теории (о плавно
меняющейся амплитуде) нарушаются. На практике это ограничивает рост
Предыдущая << 1 .. 217 218 219 220 221 222 < 223 > 224 225 226 227 228 229 .. 242 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed